Моделирование задачи оптимизации производства методами линейного программирования

Линейное программирование является одним из методов решения общих задач оптимизации, в которых учитывается большое число переменных, подчиненных определенным ограничениям. При решении этих задач необходимо получить оптимальное значение определенного критерия эффективности (функции цели), например прибылей, затрат, количества произведенных продуктов или других показателей, при условии, что удовлетворяются поставленные ограничения. Эти ограничения в свою очередь носят различный характер и объясняются условиями производства, управления, сбыта, хранения, наличием сырья или законодательными положениями.

Линейное программирование можно использовать для решения задач оптимизации, в которых выполняются следующие условия:

1. Необходимо наличие линейной функции цели, оптимальное значение которой необходимо отыскать. Требование линейности существенно для применения методов, изложенных в этой и следующей теме. Линейность означает, например, что для изготовления 10 изделий потребуется в10 раз больше средств, чем для получения одного изделия, или для получения 5 изделий уйдет в 5 раз больше времени, чем на изготовление одного изделия, и т.д. Если же такое допущение пропорциональной зависимости неверно или нельзя получить линейную функцию за счет преобразования переменных, то методы линейного программирования неприменимы.

2. Ограничения также должны быть заданы в виде системы линейных равенств или неравенств.

Если задача поставлена правильно, то можно использовать методы линейного программирования для ее решения.

Рассмотрим следующую производственную задачу:

Необходимо произвести два вида продукции в объемах х ₁ и х ₂, используя три ресурса, которые имеются в количестве b ₁, b ₂, b ₃, соответственно. Известны нормативы потребления ресурсов на производство единицы первого и второго вида продукции:

a ₁₁-количество первого ресурса, необходимого для производства единицы первого вида продукции;

a ₁₂-количество первого ресурса, необходимого для производства единицы второго вида продукции;

a ₂₁-количество второго ресурса, необходимого для производства единицы первого вида продукции;

a ₂₂-количество второго ресурса, необходимого для производства единицы второго вида продукции;

a ₃₁-количество третьего ресурса, необходимого для производства единицы первого вида продукции;

a ₃₂-количество третьего ресурса, необходимого для производства единицы второго вида продукции.

Пусть c ₁ и c ₂ – прибыль от реализации единицы первого и второго вида продукции. Это постоянные факторы данной задачи.

Пример 2.2.1. Придадим постоянным факторам конкретные числовые значения и сведем их в табл.2.2.1.

Таблица 2.2.1.

	Изделие 1 (х 1)	Изделие 2 (х 2)	Наличие
Ресурс 1	a 11 = 2	a 12 = 1	b 1 = 12
Ресурс 2	a 21= 2	a 22 = 3	b 2 = 18
Ресурс 3	a 31 = 1	a 32 = 3	b 3 = 15
Прибыль	c 1 = 5	c 2 = 6

Производственная задача формулируется следующим образом:

Найти такие объемы производства продукции х ₁ и х ₂, при которых потребление ресурсов в соответствии с нормативами не превышало бы их наличия, и при этом прибыль от реализации продукции была бы максимальна.

Предполагая, что количество потребляемых ресурсов, а также прибыль пропорциональны объемам производства, получаем следующую математическую модель задачи:

(I) 2 х ₁ + 1 х ₂ £ 12

(II) 2 х ₁ + 3 х ₂ £ 18

(III) 1 х ₁ + 3 х ₂ £ 15 (2.2.1.)

х ₁ ³ 0, х ₂ ³ 0,

F =5 х ₁ + 6 х ₂ ® max.

Система неравенств (2.2.1) отражает ограничения на потребляемые ресурсы, а целевая функция F определяет прибыль, которую необходимо максимизировать. Пару чисел х ₁ и х ₂, удовлетворяющих системе ограничений (2.2.1), будем называть допустимым планом, а допустимый план, дающий максимальное значение целевой функции F – оптимальным планом (решением).