Этапы построения математической модели

При построении математической модели системы можно выделить несколько этапов (рис. 2.1):

I -й этап. Постановка задачи. Этапу предшествует возникновение ситуаций или проблем, осознание которых приводит к мысли
их обобщения или решения для последующего достижения, какого-
либо эффекта. Исходя из этого, объект описывается, отмечаются
вопросы, подлежащие решению, и ставится цель исследования. Здесь необходимо уяснить, что мы хотим получить в результате исследований. Предварительно нужно оценить, нельзя ли получить эти
результаты другим, более дешевым или доступным путем.

 

I. Постановка задачи

II. Определение задачи

III. Составление математической модели задачи

IV. Вычисления. Эксперимент.

V. Выдача результатов

Рис. (2.1.) Последовательность процесса моделирования

 

II-й этап. Определение задачи. Исследователь старается определить, к какому виду относится объект, описывает параметры
состояния объекта, переменные, характеристики, факторы внешней среды. Необходимо познать закономерности внутренней организации объекта, очертить границы объекта, построить его структуру. Эта работа называется идентификацией системы. Отсюда
выбирается задача исследования, которая может решать вопросы:
оптимизации, сравнения, оценки, прогноза, анализа чувствительности, выявления функциональных соотношений и т.п.

Следующая работа связана, с разработкой концептуальной мо-
дели. Например, для создания системы очистки воды концептуальная модель системы приведена на рис. (2.2.).

Концептуальная модель позволяет оценить положение системы
во внешней среде, выявить необходимые ресурсы для ее функционирования, влияние факторов внешней среды и то, что мы ожидаем
на выходе.

Необходимость проведения исследования возникает из реальных
ситуаций, складывающихся в процессе работы системы, когда они в чем-либо начинают не удовлетворять каким-либо старым или новым
требованиям. Если недостатки очевидны и известны методы их уст-
ранения, то нет необходимости в исследованиях.

Рис (2.2.) Схема концептуальной модели системы очистки.

 

К сожалению, такая ситуация встречается достаточно редко. В
силу сложности систем и достаточно большого числа факторов, влияющих на эффективность их действия, поставить «диагноз» системе не всегда просто. Изучение сложившейся ситуации, поведения
системы и ее элементов, опыт исследователя и его интуиция позволяют поставить предварительный «диагноз» системе, определить и
сформулировать задачу исследования.

Исходя из задачи исследования, можно определить назначение
математической модели, которая должна быть построена для исследования. Такие модели могут решать задачи:

• выявления функциональных соотношений, заключающихся в
определении количественных зависимостей между входными фактора-
ми модели и выходными характеристиками исследуемого объекта;

• анализа чувствительности, заключающегося в установлении
факторов, которые в большей степени влияют на интересующие ис-
следователя выходные характеристики системы;

• прогноза — оценки поведения системы при некотором предполагаемом сочетании внешних условий;

• оценки — определения, насколько хорошо исследуемый объект
будет соответствовать некоторым критериям;

• сравнения, заключающегося в сопоставлении ограниченного
числа альтернативных вариантов систем или же в сопоставлении
нескольких предлагаемых принципов или методов действия;

• оптимизации, состоящей в точном определении такого сочетания переменных управления, при которых обеспечивается экстремальное значение целевой функции.

Выбор задачи определяет процесс создания и экспериментальной проверки модели.

Любое исследование должно начинаться с построения плана, включающего обследование системы и анализ ее функционирования. В
плане должны быть предусмотрены:

• описание функций, реализуемых объектом;
• определение взаимодействий всех систем и элементов объекта;

• определение зависимости между входными и выходными переменными и влияние переменных управляющих воздействий на
эти зависимости;

• определение экономических показателей функционирования
системы.

Результаты обследования системы и окружающей среды представляются в виде описания процесса функционирования, которое
используется для идентификации системы. Идентифицировать систему — значит выявить и изучить ее, а также:

получить более полную характеристику системы и ее поведения;

познать объективные закономерности ее внутренней организации;

очертить ее границы;
указать на вход, процесс и выход;
определить ограничения на них;
построить ее структурную и математическую модели;
описать ее на каком-либо формальном абстрактном языке;

определить цели, принуждающие связи, критерии действия системы.

После идентификации системы строится концептуальная модель,
являющаяся «идеологической» основой будущей математической
модели. Именно в ней отражается состав критериев оптимальности
и ограничений, определяющих целевую направленность модели. Перевод, на этапе формализации качественных зависимостей в количественные, преобразует критерий оптимальности в целевую функцию, ограничения — в уравнения связи, концептуальную модель-
в математическую модель.

Если посмотреть на схему построения математической модели
(см. рис. (2.1.), то можно увидеть, что процесс ее построения представляет собой не только прямую, но и обратную связь отдельных
этапов. Это означает, что при работе над последующим этапом приходится возвращаться к предыдущим для уточнения тех или иных моментов.

Рис. (2.3.) Факторная модель производственной системы очистки воды.

 

На основе концептуальной модели можно построить факторную модель (рис. (2.3.), которая устанавливает логическую связь между параметрами объекта, входными и выходными переменными, факторами внешней среды и параметрами управления, а также учитывать обратные связи в системе.

III-й этап. Составление математической модели. Вид математической модели в значительной степени зависит от цели исследования. Вначале лучше поискать подходящую модель в литературе или
использовать те или иные известные закономерности экологии в
виде функций, связывающих переменные и постоянные факторы
модели между собой.

Математическая модель может быть в виде математического
выражения, представляющего собой алгебраическое уравнение, или
неравенство, не имеющее разветвления вычислительного процесса при определении любых переменных состояния модели, целевой функции и уравнений связи.

Для построения такой модели формулируются следующие понятия:

• критерий оптимальности — показатель, выбираемый исследователем, имеющий, как правило, экологический смысл, который служит для формализации конкретной цели управления объектом ис-
следования и выражаемый при помощи целевой функции;

• целевая функция — характеристика объекта, установленная из
условия дальнейшего поиска критерия оптимальности, математически связывающая между собой те или иные факторы объекта
исследования. Целевая функция и критерий оптимальности — разные понятия. Они могут быть описаны функциями одного и того
же вида или же разными функциями;

• ограничения — пределы, сужающие область осуществимых,
приемлемых или допустимых решений и фиксирующие основные
внутренние и внешние свойства объекта. Ограничения определяют
область исследования, протекания процессов, пределы изменения
параметров и факторов объекта.

Так, например, для факторной модели, приведенной на рис. 1.5,
выбираем в качестве критерия оптимальности максимальный объем
очищенной воды при заданных ресурсах Х₁,Х₂,...,Х_n. Тогда целевая
функция должна связать между собой Х, А, S, F, т.е.

Y = max f (Х, А, S, F )

при ограничении значений переменных Х, Р _y и Q_об.

Следующим шагом построения системы является формирование математической модели, включающее в себя несколько видов работ: математическую формализацию, численное представление, анализ модели и выбор метода ее решения.

Математическая формализация осуществляется по концептуальной модели. При формализации рассматривают три основные ситуации:

1) известны уравнения, описывающие поведение объекта. В этом
случае решением прямой задачи можно найти реакцию объекта на
заданный входной сигнал;

2) обратная задача, когда по заданному математическому описанию и известной реакции необходимо найти входной сигнал, вызывающий этот отклик;

3) математическое описание объекта неизвестно, но имеются или
могут быть заданы совокупности входных и соответствующих и выходных сигналов. В этом случае имеем дело с задачей идентификации объекта.

При моделировании производственно-экологических объектов в
третьей ситуации при решении задачи идентификации используется
подход, предложенный Н. Винером, и известный как метод «черного
ящика». В качестве «черного ящика» рассматривается объект в целом,
вследствие его сложности. Так как внутреннее устройство объекта неизвестно, мы можем изучить «черный ящик», найдя входы и выходы.
Сопоставляя входы и выходы, можно написать соотношение

Y = АХ,

 

где Х — вектор входных параметров;

Y — вектор выходных параметров;
А — оператор объекта, преобразующий Х в Y.

Для описания объекта в виде математической зависимости в
задачах идентификации используются методы регрессивного анализа. При этом возможно описание объекта множеством математических моделей, так как нельзя вынести обоснованного суждения о его
внутреннем устройстве.

Основой выбора метода математического описания является знание физической природы функционирования описываемого объекта,
достаточно широкого круга эколого-математических методов, возможностей и особенностей ЭВМ, на которой планируется проведение
моделирования. Для многих рассматриваемых явлений имеется достаточно много известных математических описаний и типовых математических моделей. При развитой системе математического обеспечения ЭВМ целый ряд процедур моделирования можно осуществить
с помощью стандартных программ.

Оригинальные математические модели можно написать на основе проведенных исследований систем и апробированных в реальной обстановке. Для проведения новых исследований такие модели
корректируются под новые условия.

Математические модели элементарных процессов, физическая
природа которых известна, записываются в виде тех формул и зависимостей, которые установлены для этих процессов. Как правило, статические задачи выражаются в виде алгебраических выражений, динамические — в виде дифференциальных или конечно-разностных уравнений.

Если целевая функция представлена в виде выражения

Y = f (x ₁, x ₂ ,..., х_q, р, Е),

то формализация критерия оптимальности переводит целевую функцию в оптимизационную, т.е.

q = 1, q

Численное представление модели производится для подготовки
ее к реализации на ЭВМ. Задание числовых значений трудностей не
представляет. Осложнения встречаются при компактном представлении обширной статистической информации и результатов экспериментов.

Основными методами преобразования табличных значений к
аналитическому виду являются: интерполяция, аппроксимация и экстраполяция.

Интерполяция – приближенное, или точное нахождение какой-
либо величины по известным отдельным значениям этой же или
других величин, связанных с ней. Например, через любые n+1 точ-
ки можно всегда провести кривую, описываемую полиномом n-ой
степени так, чтобы она прошла через каждую из заданных точек а ₁,
а ₂, ..., а_n. Эта кривая называется интерполирующей. Здесь применяется метод Ньютона или Лагранжа.

Аппроксимация — замена одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным. Аппроксимация
позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению более простых или более удобных объектов. Например, для приближения заданной функции f( х)
выбирают аппроксимирующую функцию Ф(х) из классов математи-
ческих функций, в наибольшей степени соответствующих специфи-
ке протекания исследуемого процесса.

Экстраполяция — продолжение функции за пределы ее области
определения, при котором продолженная функция принадлежит заданному классу. Экстраполяция функции обычно производится с по-
мощью формул, в которых использована информация о поведении
функций в некотором конечном наборе точек, называемых узлами
экстраполяции, принадлежащими кобласти определения.

Формальная экстраполяция сводится к математически оптимальной подгонке исходного статистического ряда к какой-либо аппроксимирующей функции. Критерием оптимальности здесь может выступать близость точек ряда к аппроксимирующей функции.

Прогнозная экстраполяция строится на основе математического
анализа исходного ряда с учетом логики и существа развития объекта,
его физики и абсолютных пределов.

Следующим этапом построения является анализ полученной модели и выбор метода еерешения. Основой для вычисления значений выходных характеристик модели служит составленный на ее
базе алгоритм решения задачи на ЭВМ. Разработка и программирование такого алгоритма, как правило, не встречают принципиальных трудностей.

Более сложной является организация вычислительного процесса для определения выходных характеристик, лежащих в допустимых областях, особенно для многофакторных моделей. Еще сложнее — поиск решений по оптимизационным моделям. Самая совершенная и адекватная описываемому объекту математическая модель
без нахождения оптимального значения бесполезна, она не может
быть использована.

Основную роль при разработке алгоритма поиска оптимальных
решений играют характер факторов математической модели, число
критериев оптимальности, вид целевой функции и уравнений связи.
Вид целевой функции и ограничений определяет выбор одного из
трех основных методов решения эколого-математических моделей:

• аналитического исследования;
• исследования при помощи численных методов;
• исследования алгоритмических моделей с помощью методов экспериментальной оптимизации на ЭВМ.

Аналитические методы отличаются тем, что помимо точного
значения искомых переменных они могут давать оптимальное решение в виде готовой формулы, куда входят характеристики внешней среды и начальные условия, которые исследователь может изменять в широких пределах, не меняя самой формулы.

Численные методы дают возможность получить решение путем
многократного вычисления по определенному алгоритму, реализующему тот или иной численный метод. В качестве исходных данных для вычисления используются числовые значения параметров
объекта, внешней среды и начальных условий. Численные методы
являются итеративными процедурами: для проведения следующего
шага расчетов (при новом значении управляемых переменных) ис-
пользуются результаты предыдущих расчетов, что позволяет получать в процессе вычислений улучшенные результаты и тем самым
находить оптимальное решение.

Свойства конкретной алгоритмической модели, на которой базируется алгоритм поиска оптимального решения, например ее линейность или выпуклость, могут быть определены только в процессе экспериментирования с ней, в связи, с чем для решения моделей
этого класса используются так называемые методы экспериментальной оптимизации на ЭВМ. При использовании этих методов
производится пошаговое приближение к оптимальному решению на основе результатов расчета по алгоритму, моделирующему работу
исследуемой системы. Методы базируются на принципах поиска
оптимальных решений в численных методах, но в отличие от них
все действия по разработке алгоритма и программы оптимизации
выполняет разработчик модели.

Имитационное моделирование задач, содержащих случайные
параметры, принято называть статистическим моделированием.

Заключительным шагом создания модели является составление ее
описания, которое содержит сведения, необходимые для изучения мо-
дели, ее дальнейшего использования, а также все ограничения и допущения. Тщательный и полный учет факторов при построении модели
и формулировке допущений позволяет оценить точность модели, избежать ошибок при интерпретации ее результатов.

IV-й этап. Вычисления. При решении задачи необходимо тщательно разобраться с размерностью всех величин, входящих в математическую модель, и определить границы (пределы), в которых
будет лежать искомая целевая функция, а также требуемую точность вычислений. Если возможно, то вычисления проводятся при
неизменных условиях по несколько раз, чтобы убедиться, что целевая функция не изменяется.

V-й этап. Выдача результатов. Результаты исследования объекта
могут выдаваться в устной или письменной форме. Они должны включать в себя краткое описание объекта исследования, цели исследования,
математическую модель, допущения, принятые при выборе математической модели, основные результаты вычислений, обобщения и выводы.