Тема 6. Частные производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора и ряд Тейлора

Пусть функция в некоторой области R ⁿ имеет частные производные , по всем переменным. Частной производной второго порядка функции называется частная производная по переменной , от частной производной , и обозначаются или .

Если , то вместо пишут . Если , то частные производные и называют смешанными частными производными.

Пусть функция в некоторой области R ⁿ имеет частные производные до порядка включительно по всем переменным. Частной производной -го порядка функции называется частная производная по переменной , , от любой частной производной порядка . Например, функция имеет следующие частные производные третьего порядка

, , и т.д.

Пусть функция в некоторой области R ⁿ имеет частные производные до порядка включительно по всем переменным. Функция называется раз дифференцируемой в некоторой области , если все ее частные производные до порядка включительно являются дифференцируемыми функциями.

Функция называется раз непрерывно дифференцируемой в некоторой области , если все ее частные производные до порядка включительно являются непрерывными функциями.

Теорема 1. Если две смешанные частные производные порядка ,отличающиеся лишь порядком дифференцирования, непрерывны в некоторой точке, то их значения в этой точке равны.

Пусть функция дважды дифференцируема в некоторой области R ². Тогда ее дифференциал (дифференциал первого порядка), как известно, равен

, .

(1)

Дифференциал от дифференциала (1) вычисленный в точке при тех же приращениях и , что и дифференциал (1), называют дифференциалом второго порядка (вторым дифференциалом) функции и обозначают , .

Таким образом, по определению .

Теорема 2. Если функция дважды дифференцируема в точке , то дифференциал второго порядка выражается через частные производные второго порядка формулой

,

(2)

где .

Пусть функция является раз дифференцируемой в некоторой области . Дифференциалом -го порядка функции в точке называется дифференциал первого порядка в точке от дифференциала порядка , вычисленный при тех же приращениях независимых переменных, что и дифференциал порядка . Таким образом, по определению имеем

.

Для дифференциала -го порядка при сделанных предположениях справедлива формула

.

(3)

Определение дифференциала -го порядка, введенное для функции двух переменных, естественным образом распространяется на случай функции () переменных .

Дифференциалы высших порядков функции нескольких переменных не обладают свойством инвариантности формы записи. Это означает, что для функции в случае, когда и - зависимые переменные, формула (2) не имеет места.

Теорема 3. Пусть функции и имеют непрерывные частные производные до второго порядка включительно в окрестности точки , а функция – в окрестности соответствующей точки , где , . Тогда для дифференциала сложной функции в точке справедливо равенство

.

(4)

 

Формула (4) отличается от формулы (2) последними двумя слагаемыми, в которых и представляют собой дифференциалы функций и и, вообще говоря, не равны тождественно нулю.

Замечание. В случае, когда переменные и линейно зависят от переменных и или являются независимыми переменными, и , а формула (4) принимает вид формулы (2), т.е. форма записи сохраняется.

Теорема 4. Пусть функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными до порядка n +1 включительно, в некоторой d-окрестности точки . Тогда в этой d-окрестности справедлива формула Тейлора

(5)

где есть остаточный член формулы Тейлора в форме Лагранжа. При формулу (5) называют формулой Маклорена.

Замечание. Формула Тейлора (5) и остаточный член в форме Лагранжа в дифференциальной форме имеют вид

, .

Если функция имеет в точке производные любого порядка, то ряд

(6)

называют рядом Тейлора функции в точке . Если этот ряд сходится в окрестности точки к функции , то говорят, что в этой окрестности функция разлагается в ряд Тейлора. При ряд (6) называют рядом Маклорена.

Пример 1. Найти дифференциал второго порядка функции .

Решение. 1 способ. Воспользуемся определением дифференциала второго порядка . Найдем дифференциал первого порядка функции . Для этого вычислим частные производные.

; .

Тогда

;

.

2 способ. Найдем дифференциал второго порядка, используя равенство (2). Вычислим частные производные второго порядка функции .

; ;

.

Имеем

.

Пример 2. Разложить по формуле Маклорена функцию , выписав слагаемые до третьего порядка включительно.

Решение. 1 способ. Функция определена и непрерывна вместе со своими частными производными любого порядка в окрестности точки (0; 0), следовательно, по теореме 4 ее можно разложить по формуле Маклорена. Для этого найдем частные производные функции до третьего порядка в точке (0; 0).

; .

Заметим, что частные производные любого порядка по переменной в точке (0; 0) будут равны 1.

; ;

; ;

.

Положив , , , в формуле (5), получим требуемое разложение

,

где - остаточный член формулы Маклорена в форме Лагранжа.

2 способ. Воспользуемся известными разложениями функций и по формуле Маклорена. В результате получим

.