Тема 9. Экстремумы функций нескольких переменных

Точка называется точкой строгого локального максимума (строгого локального минимума) функции , если существует такая окрестность , что для любых точек выполняется неравенство .

Точка называется точкой нестрогого локального максимума (нестрогого локального минимума) функции , если существует такая окрестность , что для любых точек выполняется неравенство .

Точки минимума и максимума функции называют точками экстремума функции, а значения функции в этих точках – ее экстремумами.

Теорема 1 (необходимое условие локального экстремума функции). Если точка - точка локального экстремума функции , то частные производные функции в этой точке, если существуют, то равны нулю.

Внутренняя точка области определения функции, в которой все частные производные функции обращаются в ноль, называется стационарной точкой.

Стационарные точки и точки, в которых хотя бы одна из частных производных не существует, называются критическими.

Критические точки функции являются «подозрительными» на экстремум, т.е. экстремум может быть только в критических точках. Следует отметить, что не во всех критических точках может быть экстремум.

Обозначим через .

Теорема 2 (достаточное условие экстремума функции в стационарной точке). Пусть функция дважды непрерывно дифференцируема в окрестности стационарной точки . Тогда точка :

1) является точкой локального минимума, если и ;

2) является точкой локального максимума, если и ;

3) не является точкой экстремума, если .

Замечание 1. Для функции проверить стационарную точку на экстремум можно с помощью критерия Сильвестра, согласно которому точка :

1) является точкой строгого минимума, если все главные миноры матрицы

(1)

положительны;

2) является точкой строгого максимума, если главные миноры матрицы (1) нечетного порядка отрицательны, а четного порядка положительны.

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на компакте D требуется:

1) найти критические точки функции ,принадлежащие внутренности D, и вычислить значение функции в этих точках;

2) найти наибольшее и наименьшее значения функции на границе области D;

3) из значений, найденных в пунктах 1) и 2), выбрать наибольшее и наименьшее.

Пример 1. Исследовать на экстремум функцию .

Решение. Приравнивая нулю частные производные этой функции , , получаем систему

Решение этой системы – точки (2; 1), (-2; -1), (1; 2) и (-1; -2) – критические точки функции , которые, согласно теореме 1, являются «подозрительными» на экстремум.

Найдем частные производные второго порядка функции .

, , .

Тогда .

Так как , то, согласно теореме 2, в точках (2; 1) и (-2; -1) экстремума нет. Точки (1; 2) и (-1; -2) являются точками локального экстремума, поскольку , причем точка (1; 2) – точка минимума, так как , а точка (-1; -2) – точка максимума, так как .

Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции на множестве .

Решение. Так как заданное множество – круг с центром в начале координат и радиусом 3 – компакт, а функция непрерывна на нем, то, согласно теореме Вейерштрасса, функция принимает на этом множестве свои наибольшее и наименьшее значения.

Из системы

находим критическую точку (0; 0) Î] D [ данной функции, в которой .

На границе области D, определяемой равенством , функция задается уравнением , . Найдем наибольшее и наименьшее значения функции на . Так как при , то наибольшее и наименьшее значения функция может принимать в точках , , . Тогда , .

Таким образом, получаем

, .

 

Пример 3. Разложить положительное число a на три положительных слагаемых так, чтобы их произведение было наибольшим.

Решение. Пусть , где - положительные числа. Обозначим через . Так как , то , причем x > 0, y > 0, .

Математическая модель данной задачи: найти наибольшее значение функции при . Область D – это компакт (рис. 1).

Определим критические точки функции из системы

Решением этой системы будут четыре точки , , , . Из них только точка принадлежит области D.

Проверим ее на экстремум. Для этого найдем значения вторых частных производных функции P в этой точке.

; ; .

Тогда

и, согласно теореме 2, точка является точкой локального максимума функции P.

При имеем . Таким образом, при разложении положительного число a на три положительных слагаемых, каждое из которых равно , их произведение будет наибольшим.

 

Пример 4. Найти наибольший объем, который может иметь прямоугольный параллелепипед, если сумма длин его ребер равна a.

Решение. Обозначим через длины ребер данного параллелепипеда (см. рис. 2). Объем прямоугольного параллелепипеда . Так как по условию , то . Тогда .

Математическая модель данной задачи заключается в следующем. Найти наибольшее значение функции при . Область D – это компакт (рис. 3).

Для нахождения критических точек функции решим систему

Решением этой системы являются точки , , , . Из них только точка принадлежит области D. Проверим эту точку на локальный экстремум. Вычислим значения вторых частных производные функции V в точке .

; ; .

Тогда

и силу того, что , точка , согласно теореме 2, является точкой локального максимума функции V.

При имеем . Таким образом, при объем прямоугольного параллелепипеда при заданной сумме длин его ребер a будет наибольшим и равным .