Тема 4. Частные производные. Дифференциал функций нескольких переменных. Геометрический смысл дифференциала ФНП. Условия дифференцируемости

Пусть - внутренняя точка области определения функции f (x; y) двух переменных . Предел отношения при , если он существует и конечен, называется частной производной по переменной x (по переменной y) функции f (x; y) в точке и обозначается , .

Если частные производные функции f существуют в каждой точке множества M Î R ², то говорят, что функция f имеет частные производные на множестве M.

По аналогии с функциями двух переменных определяются и частные производные , ,..., функции n переменных (n > 2) в рассматриваемой точке , т.е.

.

Отсюда следует, что при вычислении частной производной по x_k можно пользоваться правилами и формулами дифференцирования функции одной переменной, считая все переменные, кроме x_k, фиксированными (постоянными).

Функция называется дифференцируемойв точке , если при любых допустимых приращениях и ее аргументов соответствующее полное приращение этой функции можно представить в виде

(1)

или в виде

.

(2)

Здесь и не зависят от и , и при и , , при .

Функция называется дифференцируемой в области , если она дифференцируема в каждой точке этой области.

Если функция дифференцируема в точке , то линейная относительно и часть ее полного приращения (1) ((2)) называется полным дифференциалом (или, короче, дифференциалом) этой функции в точке и обозначается , т.е.

.

(3)

Аналогичным образом вводятся понятия дифференцируемости и дифференциала для функций трех и более переменных.

Дифференциалы функций нескольких переменных обладают теми же свойствами, что и дифференциалы функций одной действительной переменной.

Пусть - фиксированная точка поверхности , а - произвольная точка этой поверхности.

Плоскость , проходящая через точку M ₀ поверхности , называется касательной плоскостью к этой поверхности в точке M ₀, если угол φ; между прямой и плоскостью стремится к нулю, когда точка M неограниченно приближается к точке M ₀ по данной поверхности.

Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке , то существует касательная плоскость к графику этой функции в точке , не параллельная оси , и уравнение этой плоскости имеет вид

.

(4)

Геометрический смысл дифференциала. Дифференциал функции в точке есть приращение MM ₁ аппликаты PM ₁ касательной плоскости к поверхности в точке при переходе точки плоскости xOy в точку .

Нормалью к поверхности в точке называется прямая, перпендикулярная касательной плоскости в этой же точке.

Уравнения нормали имеют вид

.

(5)

Необходимые условия дифференцируемости функции в точке.

Теорема 2. Если функция дифференцируема в точке , то она непрерывна в этой точке.

Теорема 3. Если функция дифференцируема в точке , т.е. имеет место равенство (1), то существуют обе частные производные функции в данной точке, причем и

.

(6)

Достаточное условие дифференцируемости функции в точке.

Теорема 4. Если функция в некоторой окрестности точки имеет частные производные и и эти частные производные непрерывны в точке , то функция дифференцируема в точке , т.е. имеет место равенство (6).

Пример 1. Найти частные производные и полный дифференциал функции .

Решение. Данная функция в каждой точке области D = R ² \ {(0; 0)} имеет частные производные

, ,

которые непрерывны там, как частное многочленов. Следовательно, по теореме 4 функция f дифференцируема в области D. Ее дифференциал в этой области находим по формуле

.

Таким образом,

Пример 2. Найти и , если . Является ли эта функция дифференцируемой в точке О (0; 0)?

Решение. Найдем частные производные функции по определению

;

.

Проверим частные производные функции на непрерывность в окрестности точки О (0; 0). Так как

и

при и , то частная производная не является непрерывной в точке (0; 0), а, следовательно, по теореме 4 функция не дифференцируема в этой точке.