Пример 2. Найти точки разрыва функции

Решение. Функция имеет разрыв лишь в точках, где знаменатель обращается в нуль, т.е. на прямой и параболе y = x ², так как функция не определена в точках этих линий.

Пример 3. Исследовать на непрерывность по переменной x, по переменной y и по совокупности переменных в точке (0, 0) функцию

Решение. Поскольку f (x, 0) = 0 при x ¹ 0 и f (0, y) = 0 при y ¹ 0, получаем, что и , т.е. по каждой переменной в отдельности функция непрерывна в точке (0, 0). Найдем предел функции z = f (x, y) по совокупности аргументов x, y в точке (0, 0).

.

Параметр . Поэтому при различных значениях j получаем различные значения этого предела. Так при , а при . Это означает, что предел функции f в точке (0, 0) не существует, т.е. функция f не является непрерывной в точке (0, 0).

Пример 4. Исследовать на равномерную непрерывность функцию

z = 2 x – 3 y + 5.

Решение. Данная функция определена на всей действительной плоскости. Воспользуемся определением равномерной непрерывности и докажем, что

(1)

Рассмотрим левую часть последнего неравенства

e.

Требуемое неравенство имеет место, если взять , что и дает выполнимость цепочки (1).