Пример 2. Найти точки разрыва функции
Решение. Функция имеет разрыв лишь в точках, где знаменатель обращается в нуль, т.е. на прямой Пример 3. Исследовать на непрерывность по переменной x, по переменной y и по совокупности переменных в точке (0, 0) функцию
Решение. Поскольку f (x, 0) = 0 при x ¹ 0 и f (0, y) = 0 при y ¹ 0, получаем, что
Параметр Пример 4. Исследовать на равномерную непрерывность функцию z = 2 x – 3 y + 5. Решение. Данная функция определена на всей действительной плоскости. Воспользуемся определением равномерной непрерывности и докажем, что
Рассмотрим левую часть последнего неравенства
Требуемое неравенство имеет место, если взять
|
и параболе y = x 2, так как функция не определена в точках этих линий.
и 
, т.е. по каждой переменной в отдельности функция 
непрерывна в точке (0, 0). Найдем предел функции z = f (x, y) по совокупности аргументов x, y в точке (0, 0).
.
. Поэтому при различных значениях j получаем различные значения этого предела. Так 
при 
, а 
при 
. Это означает, что предел функции f в точке (0, 0) не существует, т.е. функция f не является непрерывной в точке (0, 0).
(1)
e.
, что и дает выполнимость цепочки (1).
