Тема 7. Производная по направлению. Градиент

Пусть даны функция и точка R ². Пусть, далее, – направленная прямая, расположенная в плоскости и проходящая через точку (см. рис. 1).

 

Рис. 1

Выберем на этой прямой одно из направлений , где - произвольная точка на прямой (для нее x = x₀+Dx, y = y₀+Dy). Обозначим через проекцию вектора на направление : , если направление вектора совпадает с направлением и , если направление вектора противоположно направлению .

Частной производной функции в точке по направлению l (это ось с выбранным направлением) называется предел отношения при , если этот предел существует и обозначается . Таким образом,

, .

Из данного определения следует, что если направление совпадает с положительным направлением оси (оси ), то

.

Аналогично вводится понятие производной функции в точке по данному направлению (в R ⁿ).

Теорема 1 (о связи производной по направлению с частными производными). Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке производную по любому направлению , причем

,

(1)

где и – величины углов, образованных направлением с положительными направлениями осей и .

Так как , то при выполнении условий теоремы 1 справедлива формула

.

(1/)

Если функция двух переменных имеет в точке R ² конечные частные производные, то вектор называется градиентом этой функции в точке и обозначается , где i, j – орты на осях координат Ox и Oy соответственно, т.е.

.

Производная по направлению функции f выражается через вектор градиент следующим образом

,

(2)

где – величина угла между векторами и ( является единичным вектором на выбранном направлении). Таким образом, производная по направлению равна проекции градиента на это направление.

Из равенства (2) следует, что если направление совпадает с направлением вектора , то производная функции в точке в этом направлении будет наибольшей (при условии, что ). Наименьшее значение производная по направлению будет иметь, когда вектор градиент направлен в сторону, противоположную выбранному направлению.

Пример 1. Найти производную функции в точке в направлении .

Решение. Функция в окрестности точки имеет частные производные

, ,

которые непрерывны в самой точке . Следовательно, по достаточному условию дифференцируемости функция дифференцируема в точке и ее производную в этой точке по заданному направлению можно найти по формуле (1).

Угол - это угол между направлением и ортом , угол - это угол между направлением и ортом . По формуле косинуса угла между векторами находим

; .

Так как , , то по формуле (1) получаем

.

Пример 2. Найти наименьшее значение производной по направлению функции в точке .

Решение. Производная по направлению в некоторой точке принимает наименьшее значение, когда направление противоположно вектору градиенту функции в этой точке. В формуле (2) в этом случае , т.е.

.

Найдем частные производные функции в точке .

, ; , .

Тогда и наименьшее значение производной по направлению функции в точке есть .