Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Тема 7. Производная по направлению. Градиент





Пусть даны функция и точка R 2. Пусть, далее, – направленная прямая, расположенная в плоскости и проходящая через точку (см. рис. 1).

 

Рис. 1

Выберем на этой прямой одно из направлений , где - произвольная точка на прямой (для нее x = x0+Dx, y = y0+Dy). Обозначим через проекцию вектора на направление : , если направление вектора совпадает с направлением и , если направление вектора противоположно направлению .

Частной производной функции в точке по направлению l (это ось с выбранным направлением) называется предел отношения при , если этот предел существует и обозначается . Таким образом,

, .

Из данного определения следует, что если направление совпадает с положительным направлением оси (оси ), то

.

Аналогично вводится понятие производной функции в точке по данному направлению R n).

Теорема 1 (о связи производной по направлению с частными производными). Если функция дифференцируема в точке , то она имеет в этой точке производную по любому направлению , причем

, (1)

где и – величины углов, образованных направлением с положительными направлениями осей и .

Так как , то при выполнении условий теоремы 1 справедлива формула

. (1/)

Если функция двух переменных имеет в точке R 2 конечные частные производные, то вектор называется градиентом этой функции в точке и обозначается , где i, j – орты на осях координат Ox и Oy соответственно, т.е.

.

Производная по направлению функции f выражается через вектор градиент следующим образом

, (2)

где – величина угла между векторами и ( является единичным вектором на выбранном направлении). Таким образом, производная по направлению равна проекции градиента на это направление.

Из равенства (2) следует, что если направление совпадает с направлением вектора , то производная функции в точке в этом направлении будет наибольшей (при условии, что ). Наименьшее значение производная по направлению будет иметь, когда вектор градиент направлен в сторону, противоположную выбранному направлению.

Пример 1. Найти производную функции в точке в направлении .

Решение. Функция в окрестности точки имеет частные производные

, ,

которые непрерывны в самой точке . Следовательно, по достаточному условию дифференцируемости функция дифференцируема в точке и ее производную в этой точке по заданному направлению можно найти по формуле (1).

Угол - это угол между направлением и ортом , угол - это угол между направлением и ортом . По формуле косинуса угла между векторами находим

; .

Так как , , то по формуле (1) получаем

.

Пример 2. Найти наименьшее значение производной по направлению функции в точке .

Решение. Производная по направлению в некоторой точке принимает наименьшее значение, когда направление противоположно вектору градиенту функции в этой точке. В формуле (2) в этом случае , т.е.

.

Найдем частные производные функции в точке .

, ; , .

Тогда и наименьшее значение производной по направлению функции в точке есть .







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 1559. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Этапы трансляции и их характеристика Трансляция (от лат. translatio — перевод) — процесс синтеза белка из аминокислот на матрице информационной (матричной) РНК (иРНК...

Условия, необходимые для появления жизни История жизни и история Земли неотделимы друг от друга, так как именно в процессах развития нашей планеты как космического тела закладывались определенные физические и химические условия, необходимые для появления и развития жизни...

Метод архитекторов Этот метод является наиболее часто используемым и может применяться в трех модификациях: способ с двумя точками схода, способ с одной точкой схода, способ вертикальной плоскости и опущенного плана...

Методика исследования периферических лимфатических узлов. Исследование периферических лимфатических узлов производится с помощью осмотра и пальпации...

Роль органов чувств в ориентировке слепых Процесс ориентации протекает на основе совместной, интегративной деятельности сохранных анализаторов, каждый из которых при определенных объективных условиях может выступать как ведущий...

Лечебно-охранительный режим, его элементы и значение.   Терапевтическое воздействие на пациента подразумевает не только использование всех видов лечения, но и применение лечебно-охранительного режима – соблюдение условий поведения, способствующих выздоровлению...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия