Пусть даны функция
и точка
R 2. Пусть, далее,
– направленная прямая, расположенная в плоскости
и проходящая через точку
(см. рис. 1).

Рис. 1
Выберем на этой прямой одно из направлений
, где
- произвольная точка на прямой
(для нее x = x0+Dx, y = y0+Dy). Обозначим через
проекцию вектора
на направление
:
, если направление вектора
совпадает с направлением
и
, если направление вектора
противоположно направлению
.
Частной производной функции
в точке
по направлению l (это ось с выбранным направлением) называется предел отношения
при
, если этот предел существует и обозначается
. Таким образом,
,
.
Из данного определения следует, что если направление
совпадает с положительным направлением оси
(оси
), то
.
Аналогично вводится понятие производной функции
в точке
по данному направлению
(в R n).
Теорема 1 (о связи производной по направлению с частными производными). Если функция
дифференцируема в точке
, то она имеет в этой точке производную по любому направлению
, причем
,
| (1)
|
где
и
– величины углов, образованных направлением
с положительными направлениями осей
и
.
Так как
, то при выполнении условий теоремы 1 справедлива формула
.
| (1/)
|
Если функция
двух переменных имеет в точке
R 2 конечные частные производные, то вектор
называется градиентом этой функции в точке
и обозначается
, где i, j – орты на осях координат Ox и Oy соответственно, т.е.
.
Производная по направлению функции f выражается через вектор градиент следующим образом
,
| (2)
|
где
– величина угла между векторами
и
(
является единичным вектором на выбранном направлении). Таким образом, производная по направлению равна проекции градиента на это направление.
Из равенства (2) следует, что если направление
совпадает с направлением вектора
, то производная функции
в точке
в этом направлении будет наибольшей (при условии, что
). Наименьшее значение производная по направлению будет иметь, когда вектор градиент направлен в сторону, противоположную выбранному направлению.
Пример 1. Найти производную функции
в точке
в направлении
.
Решение. Функция
в окрестности точки
имеет частные производные
,
,
которые непрерывны в самой точке
. Следовательно, по достаточному условию дифференцируемости функция
дифференцируема в точке
и ее производную в этой точке по заданному направлению
можно найти по формуле (1).
Угол
- это угол между направлением
и ортом
, угол
- это угол между направлением
и ортом
. По формуле косинуса угла между векторами находим
;
.
Так как
,
, то по формуле (1) получаем
.
Пример 2. Найти наименьшее значение производной по направлению функции
в точке
.
Решение. Производная по направлению в некоторой точке
принимает наименьшее значение, когда направление противоположно вектору градиенту функции в этой точке. В формуле (2) в этом случае
, т.е.
.
Найдем частные производные функции
в точке
.
,
;
,
.
Тогда
и наименьшее значение производной по направлению функции
в точке
есть
.