Тема 3. Непрерывность. Равномерная непрерывность. Свойства непрерывных функций

Функция f (x; y) называется непрерывной в точке M ₀ R ², если:

1) функция f определена в этой точке;

2) точка M ₀ является предельной точкой D (f);

3) в точке M ₀ существует конечный предел функции f, равный значению функции в этой точке, т.е. .

На ε-δ; языке последнее условие можно записать так

или, что тоже самое,

.

Для функций нескольких переменных справедливы теоремы о непрерывности суммы, произведения и частного функций, о сохранении знака непрерывной функцией, о непрерывности сложной функции, аналогичные соответствующими теоремами для функций из R ¹ в R ¹.

Точка R ², являющаяся предельной точкой области определения D (f) функции f (x; y), называется точкой разрыва этой функции, если выполняется хотя бы одно из следующих условий:

1) функция f не определена в точке ;

2) точка M ₀ не является предельной точкой D (f);

3) предел функции f в точке не существует или существует, но не равен ее значению в этой точке.

Функция f нескольких переменных называется непрерывной на множестве MÌD (f), если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Функция f (x; y), определенная в окрестности точки R ², называется непрерывной в этой точке по переменной x (по переменной y), если существует конечный предел .

Очевидно, что непрерывная в точке по совокупности аргументов функция будет непрерывна в этой точке и по каждому аргументу в отдельности. Обратное, вообще говоря, неверно.

Функция называется равномерно непрерывной на множестве MÌD (f), если

Теорема Кантора. Функция , непрерывная на ограниченном замкнутом множестве, равномерно непрерывна на этом множестве.

Теорема 1 (аналог первой теоремы Вейерштрасса). Действительная функция , определенная и непрерывная на замкнутом и ограниченном множестве M, ограничена на этом множестве.

Теорема 2 (аналог второй теоремы Вейерштрасса).Действительная функция , определенная и непрерывная на замкнутом и ограниченном множестве M, принимает на нем свои наименьшее и наибольшее значения.

Теорема 3. Если функция f непрерывна в точке M ₀(x ₀, y ₀), не являющейся изолированной точкой D (f), то существует такая окрестность точки M ₀, во всех точках которой функция f принимает значения того же знака, что и в точке M ₀.

Теорема 4. Если функция f непрерывна на связном множестве X и в точках M ₁ Î X и M ₂ Î X принимает неравные между собой значения f (M ₁) ¹ f (M ₂), то она принимает все промежуточные значения между f (M ₁) и f (M ₂).

Пример 1. Исследовать на непрерывность функцию

Решение. Имеем D (f) = R ². В любой точке (x ₀, y ₀) ¹ (0, 0) данная функция непрерывна по теоремам о непрерывности частного и композиции функций. Подозрительной на разрыв является точка (0; 0). Найдем

.

Т.к. , то функция f (x, y) непрерывна в точке (0, 0).