Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Тема 2. Предел ФНП





Число b Î R называется пределом функции z = f (x; y) в точке M 0 R 2, если выполняются условия:

1) - предельная точка множества R 2;

2) .

Здесь – проколотая шаровая или кубическая окрестность точки в пространстве R 2.

Для обозначения предела функции двух переменных используют запись или .

Напомним определения кубической и шаровой окрестностей точки в пространстве R n.

Шаровой e-окрестностью точки R nрадиуса e, e > 0, называется множество

Кубической h-окрестностью с ребром 2 h (h >0) точки R nназывается множество

R n .

Используя эти определения можно дать следующие определения предела функции f в точке.

Число b Î R называется пределом функции z = f (x; y) в точке M 0 R 2, если выполняются условия:

1) - предельная точка множества R 2;

2)

.

Число b Î R называется пределом функции z = f (x; y) в точке M 0 R 2, если выполняются условия:

1) - предельная точка множества R 2;

2)

.

Для функций нескольких переменных справедливы теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций, аналогичные соответствующим теоремам для функций одного переменного. Эти теоремы и переход к новым переменным применяются при вычислении пределов. В случае возможна замена координат (x, y) на полярные координаты по формулам , , где 0 £ j £ 2 p. При этом происходит переход к , где . Заметим, что из выполнения равенства при любом j, 0 £ j £ 2 p, еще не следует, что . Последнее равенство будет выполняться, если при r ® 0 функция F (r, j) ® C равномерно по j. Это имеет место, если , где l > 0, а функция y (r, j) ограничена при 0 < r < a, 0 £ j £ 2 p. В некоторых случаях возможны и другие замены переменных, которые позволяют перейти к пределу функции одной переменной.

Замена переменной позволяет также установить отсутствие предела.

Число b Î R называется пределом функции z = f (x; y) в точке R 2 по множеству R 2, если выполняются условия:

1) - предельная точка множества M Ç D (f);

2)

.

Отсюда следует, что предел функции z = f (x; y) в точке не существует, если по двум различным множествам и эта функция имеет различные пределы в точке .

Повторными пределами функции z = f (x; y) в точке называют выражения

и .

Чтобы найти, например, повторный предел , сначала вычисляют предел функции z = f (x; y) при , считая x – постоянной. В результате получают некоторую функцию переменной x и находят ее предел при . Повторные пределы, вообще говоря, не равны между собой и не равны пределу функции f (x; y) в точке . В то же время, из существования (отсутствия) предела функции в точке еще не следует существования (отсутствия) в этой точке ее повторных пределов.

Пример 1. Доказать, что .

Решение. Областью определения функции является множество

.

Воспользуемся определением Коши предела функции в точке. Точка (0, 0) – предельная точка . Докажем, что

Рассмотрим левую часть последнего неравенства цепочки. Так как при , имеем

.

Потребовав выполнимости последнего неравенства, получаем, что при имеет место доказываемая цепочка (1).

Пример 2. Вычислить предел .

Решение. Имеем

.

Пример 3. Найти предел функции в точке (0, 0) по прямой , , ; доказать, что не существует.

Решение. Функция определена на всей плоскости, за исключением точки (0, 0). Так как при , то предел функции в точке (0, 0) по каждой прямой, проходящей через начало координат, равен нулю.

Из того, что предел функции f по любой прямой, проходящей через начало координат, равен нулю в точке (0, 0), еще не следует, что предел функции f в этой точке существует и равен нулю.

Подберем какую-нибудь кривую, проходящую через точку (0, 0), по которой предел функции в данной точке не равен нулю. Например, для параболы имеем , т.е. предел функции f в точке (0, 0) по кривой равен 1/2.

Таким образом, получаем, что пределы функции f в точке (0, 0) по двум различным множествам (любая из указанных прямых и параболы ) различны. Тем самым доказано, что не существует.

Пример 4. Найти повторные пределы функции в точке (0, 0).

Решение. Имеем

, ,

т.е. повторные пределы функции u в точке (0, 0) не равны между собой.

 







Дата добавления: 2015-04-16; просмотров: 522. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Сущность, виды и функции маркетинга персонала Перснал-маркетинг является новым понятием. В мировой практике маркетинга и управления персоналом он выделился в отдельное направление лишь в начале 90-х гг.XX века...

Разработка товарной и ценовой стратегии фирмы на российском рынке хлебопродуктов В начале 1994 г. английская фирма МОНО совместно с бельгийской ПЮРАТОС приняла решение о начале совместного проекта на российском рынке. Эти фирмы ведут деятельность в сопредельных сферах производства хлебопродуктов. МОНО – крупнейший в Великобритании...

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести...

Стресс-лимитирующие факторы Поскольку в каждом реализующем факторе общего адаптацион­ного синдрома при бесконтрольном его развитии заложена потенци­альная опасность появления патогенных преобразований...

ТЕОРИЯ ЗАЩИТНЫХ МЕХАНИЗМОВ ЛИЧНОСТИ В современной психологической литературе встречаются различные термины, касающиеся феноменов защиты...

Этические проблемы проведения экспериментов на человеке и животных В настоящее время четко определены новые подходы и требования к биомедицинским исследованиям...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия