Тема 2. Предел ФНП
Число b Î R называется пределом функции z = f (x; y) в точке M 0 1) 2) Здесь Для обозначения предела функции двух переменных используют запись Напомним определения кубической и шаровой окрестностей точки в пространстве R n. Шаровой e-окрестностью точки Кубической h-окрестностью с ребром 2 h (h >0) точки
Используя эти определения можно дать следующие определения предела функции f в точке. Число b Î R называется пределом функции z = f (x; y) в точке M 0 1) 2)
Число b Î R называется пределом функции z = f (x; y) в точке M 0 1) 2)
Для функций нескольких переменных справедливы теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций, аналогичные соответствующим теоремам для функций одного переменного. Эти теоремы и переход к новым переменным применяются при вычислении пределов. В случае Замена переменной позволяет также установить отсутствие предела. Число b Î R называется пределом функции z = f (x; y) в точке 1) 2)
Отсюда следует, что предел функции z = f (x; y) в точке Повторными пределами функции z = f (x; y) в точке
Чтобы найти, например, повторный предел Пример 1. Доказать, что Решение. Областью определения функции
Воспользуемся определением Коши предела функции в точке. Точка (0, 0) – предельная точка Рассмотрим левую часть последнего неравенства цепочки. Так как
Потребовав выполнимости последнего неравенства, получаем, что при Пример 2. Вычислить предел Решение. Имеем
Пример 3. Найти предел функции Решение. Функция определена на всей плоскости, за исключением точки (0, 0). Так как Из того, что предел функции f по любой прямой, проходящей через начало координат, равен нулю в точке (0, 0), еще не следует, что предел функции f в этой точке существует и равен нулю. Подберем какую-нибудь кривую, проходящую через точку (0, 0), по которой предел функции в данной точке не равен нулю. Например, для параболы Таким образом, получаем, что пределы функции f в точке (0, 0) по двум различным множествам (любая из указанных прямых и параболы Пример 4. Найти повторные пределы функции Решение. Имеем
т.е. повторные пределы функции u в точке (0, 0) не равны между собой.
|