Тема 2. Предел ФНП

Число b Î R называется пределом функции z = f (x; y) в точке M ₀ R ², если выполняются условия:

1) - предельная точка множества R ²;

2) .

Здесь – проколотая шаровая или кубическая окрестность точки в пространстве R ².

Для обозначения предела функции двух переменных используют запись или .

Напомним определения кубической и шаровой окрестностей точки в пространстве R ⁿ.

Шаровой e-окрестностью точки R ⁿрадиуса e, e > 0, называется множество

Кубической h-окрестностью с ребром 2 h (h >0) точки R ⁿназывается множество

R ⁿ .

Используя эти определения можно дать следующие определения предела функции f в точке.

Число b Î R называется пределом функции z = f (x; y) в точке M ₀ R ², если выполняются условия:

1) - предельная точка множества R ²;

2)

.

Число b Î R называется пределом функции z = f (x; y) в точке M ₀ R ², если выполняются условия:

1) - предельная точка множества R ²;

2)

.

Для функций нескольких переменных справедливы теоремы о пределе суммы, произведения и частного функций, аналогичные соответствующим теоремам для функций одного переменного. Эти теоремы и переход к новым переменным применяются при вычислении пределов. В случае возможна замена координат (x, y) на полярные координаты по формулам , , где 0 £ j £ 2 p. При этом происходит переход к , где . Заметим, что из выполнения равенства при любом j, 0 £ j £ 2 p, еще не следует, что . Последнее равенство будет выполняться, если при r ® 0 функция F (r, j) ® C равномерно по j. Это имеет место, если , где l > 0, а функция y (r, j) ограничена при 0 < r < a, 0 £ j £ 2 p. В некоторых случаях возможны и другие замены переменных, которые позволяют перейти к пределу функции одной переменной.

Замена переменной позволяет также установить отсутствие предела.

Число b Î R называется пределом функции z = f (x; y) в точке R ² по множеству R ², если выполняются условия:

1) - предельная точка множества M Ç D (f);

2)

.

Отсюда следует, что предел функции z = f (x; y) в точке не существует, если по двум различным множествам и эта функция имеет различные пределы в точке .

Повторными пределами функции z = f (x; y) в точке называют выражения

и .

Чтобы найти, например, повторный предел , сначала вычисляют предел функции z = f (x; y) при , считая x – постоянной. В результате получают некоторую функцию переменной x и находят ее предел при . Повторные пределы, вообще говоря, не равны между собой и не равны пределу функции f (x; y) в точке . В то же время, из существования (отсутствия) предела функции в точке еще не следует существования (отсутствия) в этой точке ее повторных пределов.

Пример 1. Доказать, что .

Решение. Областью определения функции является множество

.

Воспользуемся определением Коши предела функции в точке. Точка (0, 0) – предельная точка . Докажем, что

Рассмотрим левую часть последнего неравенства цепочки. Так как при , имеем

.

Потребовав выполнимости последнего неравенства, получаем, что при имеет место доказываемая цепочка (1).

Пример 2. Вычислить предел .

Решение. Имеем

.

Пример 3. Найти предел функции в точке (0, 0) по прямой , , ; доказать, что не существует.

Решение. Функция определена на всей плоскости, за исключением точки (0, 0). Так как при , то предел функции в точке (0, 0) по каждой прямой, проходящей через начало координат, равен нулю.

Из того, что предел функции f по любой прямой, проходящей через начало координат, равен нулю в точке (0, 0), еще не следует, что предел функции f в этой точке существует и равен нулю.

Подберем какую-нибудь кривую, проходящую через точку (0, 0), по которой предел функции в данной точке не равен нулю. Например, для параболы имеем , т.е. предел функции f в точке (0, 0) по кривой равен 1/2.

Таким образом, получаем, что пределы функции f в точке (0, 0) по двум различным множествам (любая из указанных прямых и параболы ) различны. Тем самым доказано, что не существует.

Пример 4. Найти повторные пределы функции в точке (0, 0).

Решение. Имеем

, ,

т.е. повторные пределы функции u в точке (0, 0) не равны между собой.