Уравнение вынужденных колебаний

 

Свободные колебания реальной колебательной системы являются, как мы выяснили, затухающими. Чтобы возбудить в такой системе незатухающие колебания, необходимо компенсировать потери энергии, обусловленные силами сопротивления (трения). Это можно осуществить, воздействуя на систему переменной внешней силой F, изменяющейся — в простейшем и практически наиболее важном случае — по гармоническому закону . Возникающие при этом колебания и называют вынужденными.

Теперь на колеблющуюся частицу будут действовать одновременно три силы: квазиупругая (), сила сопротивления () и внешняя, вынуждающая (F_x). Согласно основному уравнению динамики,

, (39)

или в более удобной форме

, (40)

где .

Решение уравнения (40), как доказывается в математике, представляет собой сумму общего решения однородного уравнения (когда правая часть равна нулю) и частного решения неоднородного:

.

Нас будет интересовать только частное решение, соответствующее установившимся колебаниям. Общее решение однородного уравнения описывает затухающие колебания, которые по истечении некоторого времени практически исчезают.

Таким образом, по истечении некоторого времени (с момента начала действия вынуждающей силы) в системе устанавливаются гармонические колебания с частотой вынуждающей силы, но отстающие по фазе от последней на j:

. (41)

Наша задача — определить постоянные а и j. Для этого продифференцируем (41) дважды по времени:

(42)

и подставим выражения для в исходное уравнение (40). Сумма трех гармонических функций в левой части (4) должна быть равной функции . Учитывая фазовые сдвиги между , представим это равенство с помощью векторной диаграммы (рис.15, для случая w<w₀). В скобках на этой диаграмме указаны «происхождения» (или соответствие) векторов, модули которых имеют размерность ускорения. Из этой диаграммы по теореме Пифагора следует, что , откуда

. (43)

Рис.15

 

Из этой диаграммы видно, что отставание смещения по фазе на j от вынуждающей силы определяется как

(44)

Формулы (43) и (44) показывают, что амплитуда а колебаний и отставание смещения по фазе на j от вынуждающей силы определяется свойствами самого осциллятора () и вынуждающей силы (), но не начальными условиями.