Операции над множествами. Над множествами производятся операции: пересечение, объединение, разность, дополнение

 

Над множествами производятся операции: пересечение, объединение, разность, дополнение.

Пересечением множеств А и В называется новое множество , которое состоит из всех элементов, принадлежащих одновременно множествам А и В, т.е. .

Объединением множеств А и В называется новое множество , которое состоит из всех элементов, принадлежащих хотя бы одному из множеств А или В, т.е. .

Разностью множеств А и В называется новое множество , которое состоит из всех элементов множества А, не принадлежащих множеству В, т.е. .

Дополнением множества А до множества В называется новое множество , которое состоит из всех элементов из , т.е. .

Выполнение операций с множествами удобно иллюстрировать на кругах Эйлера.

 

 

Пример:

Пусть Х = { a, б }, а Y = { a, в, с }, тогда = { a, б, в, с }, = { a }, = { б }, , .

С помощью кругов Эйлера можно доказать следующие свойства множеств, справедливые для произвольных множеств А, В, С и D:

1) (коммутативность объединения);

2) (коммутативность пересечения);

3) (ассоциативность объединения);

4) (ассоциативность пересечения);

5) (дистрибутивность объединения);

6) (дистрибутивность пересечения);

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) и ;

13) и .

Пример:

В бригаде 25 человек. Среди них 20 моложе 30 лет, 15 старше 20 лет. Может ли так быть?

Решение: Может! Пусть А –множество членов бригады моложе 30 лет. В –множество членов бригады старше 20 лет. С –множество всех членов бригады. С = А В. Так как 20+15 >25, то А В ≠; Ø.

Из рисунка видно, что А В составляет

15 10 20 (15+20) – 25 =10 человек.

Тогда А состоит из 15 – 10 =5 членов,

В состоит из 20 – 10 = 10 членов.

Декартовым произведением множеств А и В называется новое множество , элементами которого являются всевозможные пары , где и , т.е. .