Частные методы решения алгебраических уравнений

 

6.1. Метод разложения левой части уравнения f(x) = 0 на множители

 

Этот метод решения основан на теореме:

Если функции определены на некотором множестве M, то на этом множестве уравнение равносильно совокупности уравнений:

 

Пример 1. Решить уравнение на множестве действительных чисел

.

 

Решение

 

Нетрудно заметить, что после замены 3x = x + 2x, уравнение примет вид:

 

.

Полученное уравнение равносильно совокупности уравнений:

 

 

Ответ: .

 

Пример 2. .

 

Решение

 

Это уравнение также нетрудно решить. Достаточно лишь представить в виде суммы , тогда левую часть уравнения легко разложить на множители:

 

Получим совокупность уравнений: .

 

Ответ: x = 1.

 

Пример 3. .

 

Решение

 

В отличие от предыдущих уравнений, здесь труднее усмотреть способ разложения на множители (хотя он и существует).

Воспользуемся уже известным приёмом.

1. Находим делители свободного члена: .

2. Пробуем среди них найти корень уравнения. Сразу понятно, что положительное число не может быть корнем, ибо все коэффициенты уравнения положительны, а сумма положительных чисел не может дать в результате нуль.

Пробуем отрицательные.

При x = -1 получаем: -1 + 4 - 6 + 4 =1, , значит, x = -1 не является корнем.

При x = -2 получаем: , значит, x = -2 является корнем уравнения, а значит, его левая часть, делится на x + 2.

Разделим, используя схему Горнера:

 

				-2
	4 = 2	6 = 2	4 = 0

 

В частном получим: .

Уравнение примет вид: . Оно равносильно совокупности: , т. е. уравнение имеет один корень.

 

Ответ: x = -2.

 

Для решения некоторых других примеров нам потребуется теорема.

 

Теорема. Если - несократимая дробь, является корнем уравнения с целыми коэффициентами, то p - делитель , а q - делитель .

 

Пример 4. Решите уравнение .

 

Решение

 

1. Найдем делители свободного члена и делители первого коэффициента. Составим всевозможные дроби вида , где p - делители свободного члена, а q - делители первого коэффициента.

Для свободного члена - 1 имеем два делителя: .

Для первого коэффициента делители: .

Составим всевозможные дроби:

.

Сразу ясно, что -1 и 1 не являются корнями уравнения.

Проверим другие дроби. При получим:

, значит, - корень уравнения.

Следовательно, левая часть уравнения делится на .

Применим схему Горнера:

 

	-3	-2
	-3 = -8	-2 = 2	1 = 0

 

В частном получим: . Уравнение примет вид:

. Оно равносильно совокупности уравнений:

.

 

Ответ: .