Возвратные уравнения

 

Определение. Уравнения вида

, где (1)

называются возвратными или симметричными.

 

Отличительной особенностью таких уравнений является равенство коэффициентов, равноотстоящих от его начала и конца.

Свойство 1. Возвратное уравнение не может иметь число 0 своим корнем. В самом деле, если допустить, что x = 0 - корень уравнения, тогда, при подстановке в уравнение, получим ложное равенство a = 0 (по определению ).

Свойство 2. Если возвратное уравнение имеет своим корнем число a, то оно имеет и корень, равный .

 

Доказательство

 

В самом деле, пусть x = a - корень возвратного уравнения

, причём ,

тогда, . (2)

Подставим в левую часть данного уравнение значение , получим:

или

,

но из равенства (2) следует, что , причем , следовательно, , а это и означает, что - корень данного возвратного уравнения (1).

При решении возвратных уравнений часто применяется подстановка

.

 

Пример 1. Решить уравнение на множестве действительных чисел

.

 

Решение

 

Это уравнение возвратное четной степени. Делим обе части уравнения на , тем более, что (следствие 1), получим уравнение:

, ,

.

Пусть , тогда, возводя обе части этого равенства в квадрат, получим: .

Подставляя новые переменные в уравнение, имеем:

.

Значение не удовлетворяет условию т является посторонним корнем. Остается одно значение: .

Делая обратную подстановку, получим .

Отсюда находим , .

 

Ответ: , .