Возвратные уравнения
Определение. Уравнения вида
называются возвратными или симметричными.
Отличительной особенностью таких уравнений является равенство коэффициентов, равноотстоящих от его начала и конца. Свойство 1. Возвратное уравнение не может иметь число 0 своим корнем. В самом деле, если допустить, что x = 0 - корень уравнения, тогда, при подстановке в уравнение, получим ложное равенство a = 0 (по определению Свойство 2. Если возвратное уравнение имеет своим корнем число a, то оно имеет и корень, равный
Доказательство
В самом деле, пусть x = a - корень возвратного уравнения
тогда, Подставим в левую часть данного уравнение значение
но из равенства (2) следует, что При решении возвратных уравнений часто применяется подстановка
Пример 1. Решить уравнение на множестве действительных чисел
Решение
Это уравнение возвратное четной степени. Делим обе части уравнения на
Пусть Подставляя новые переменные в уравнение, имеем:
Значение Делая обратную подстановку, получим Отсюда находим
Ответ:
|
, где 
(1)
.
. (2)
, получим:
или
,
, причем 
, а это и означает, что 
.
.
, тем более, что 
(следствие 1), получим уравнение:
, 
,
.
, тогда, возводя обе части этого равенства в квадрат, получим: 
.
.
не удовлетворяет условию 
т является посторонним корнем. Остается одно значение: 
.
.
, 
.
