Уравнения с параметрами

 

Пример 7. Решите уравнение .

 

Решение

 

Преобразуем уравнение: ,

.

Полученное уравнение равносильно совокупности:

Первое уравнение имеет корень x = -a. Второе уравнение, квадратное, исследуем в зависимости от параметра a.

Находим дискриминант: .

Если a = 2 или a = -2, то уравнение имеет один корень .

Если , то квадратное уравнение не имеет корней.

Если a < -2 или a > 2, тогда квадратное уравнение имеет два корня:

.

 

Ответ:

 

1. Если , то уравнение имеет один корень x = -a.

2. Если a = 2 или a = -2, то уравнение имеет два корня .

3. Если a < -2 или a > 2, тогда уравнение имеет три корня:

, .

 

Пример 8. Решите уравнение на множестве действительных чисел

.

 

Решение

 

Раскроем скобки и перенесем все члены из правой части в левую, получим:

представим в виде: , подставим это значение в уравнение и после группировки будем иметь:

 

.

Полученное уравнение равносильно совокупности

 

Перовое уравнение имеет корень x = -a, для второго уравнения проведем исследование в зависимости от значений параметра a.

Найдём дискриминант: . При любых действительных значениях a дискриминант положителен, значит, квадратное уравнение имеет два различных действительных корня:

.

 

Ответ: , .

 

 

6.3. Решение уравнений вида , где - четное

 

Уравнения вида подстановкой , , где , сводится к более простому алгебраическому уравнению.

 

Пример 9. Решить уравнение .

 

Решение

 

Положим и , получим уравнение

.

Постоянную c находим из системы уравнений и тогда уравнение станет таким:

,

.

Далее находим .

 

Ответ: x = 2.

 

Пример 10. Решите уравнение .

 

Решение

 

Положим и , получим уравнение

.

Постоянную c находим из системы уравнений и тогда уравнение станет таким: .

Для возведения двучлена в 6-ю степень воспользуемся формулой бинома Ньютона[1]

.

Положим , получим уравнение: .

Так как сумма коэффициентов последнего уравнения равна 0 (1+15+15-31=0), тогда z = 1 является корнем уравнения, значит, левая часть его делится на . Выполним деление по схеме Горнера:

			-31
	15 + = 16	15 + = 31	-31 + = 0

Получим частное: .

Уравнение примет вид:

.

не удовлетворяют условию и являются посторонними.

. Тогда .

Ответ: .