Импульсная характеристика

В случае линейных систем с постоянными параметрами для анализа прохождения любого сигнала достаточно знать результат прохождения элементарного импульса в виде дельта-функции. Для дискретных систем также можно ввести в рассмотрение единичную импульсную функцию х₀(k) (см. раздел «Примеры вычисления z-преобразования» и формулу (3.17) в главе 3).

Выходная реакция на единичный импульс x_a(k) называется импульсной характеристикой дискретной системы и обозначается h(k).

Как и в случае линейных систем с постоянными параметрами, знание импульсной характеристики позволяет проанализировать прохождение через дискретную систему любого сигнала. Действительно, прежде всего заметим, что произвольный сигнал {x(k)} можно представить в виде линейной комбинации единичных отсчетов:

Выходной сигнал, исходя из линейности и стационарности рассматриваемой системы, должен представлять собой линейную комбинацию импульсных характеристик:

Выражение (4.3) называется дискретной сверткой (точнее, дискретной линейной сверткой — ее не следует путать с круговой сверткой, которая рассматривается при обсуждении свойств дискретного преобразования Фурье. Для физически реализуемой системы h(k) = О при k < О, поэтому верхний предел суммирования в формуле (4.3) можно заменить на к.

Это означает, что система при вычислении очередного отсчета может оперировать только прошлыми значениями входного сигнала и еще ничего не знает о будущих.

Пример вычисления дискретной свертки, подробно иллюстрирующий выполняемые при этом математические операции, приведен на рис. 4.1.