Оптико-механическая аналогия

Рассмотрим условия, при которых необходимо учитывать волновые свойства частиц. Воспользуемся положениями из оптики, устанавливающими условия проявления волновых свойств электромагнитного излучения. Они состоят в следующем:

λ_изл ~ d, где d – линейный размер оптической системы

λ - длина волны де Бройля рассматриваемой частицы движущегося тела.

Пользуясь формулой λ=h/p можно для различных частиц определить длину волны де Бройля, откуда следует, что для макротел длина волны де Бройля существенно меньше характерных размеров самих тел.

Из этого следует:

 

Оптика

Если λ_изл «d, то можно пользоваться законами геометрической оптики

Если λ_изл ~ d, то можно пользоваться законами волновой оптики

Механика

 

Если λ_изл «d, то можно пользоваться законами классической механики

Если λ_изл ~ d, то можно пользоваться законами квантовой или волновой механикой

 

13. Решение уравнения Шредингера для частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме. Квантование энергии частицы.

 

Потенциальная яма – ограниченная область пространства, в которой потенциальная энергия частицы меньше, чем за ее пределами.

Рассмотрим состояния частицы, находящейся в одномерной прямоугольной бесконечно глубокой потенциальной яме. Потенциальная энергия частицы в зависимости от координаты x изображена на рисунке 1.

 

 

При 0< x < a потенциальную энергию частицы можно принять равной нулю, а вне этого интервала она обращается в бесконечность. Вследствие этого частица при своем движении не может выйти за пределы (0, а). Поскольку вероятность нахождения частицы вне интервала (0, a) равна нулю, то и Ψ - функция вне этого интервала равна нулю. А так как она должна быть непрерывной функцией во всей области координат, то в точках x=0 и x=a она обращается в нуль. Таким образом, для функции Ψ(x) получаются следующие граничные условия: Ψ(0)=Ψ(а)=0

Уравнение Шредингера внутри ямы, где потенциальная энергия равна нулю, имеет вид (3)

где принято обозначение (4)

Общее решение этого уравнения таково Граничное условие Ψ(0)=0 дает B=0, а из граничного условия Ψ(а)=0 следует, что,

аχ=nπ, (5) где n=1,2,3,…

На основании соотношений (4) и (5) получаем выражение для уровней энергии . (6)

Это условие квантует энергию частицы. Формула (6) показывает, что существует некоторая минимальная энергия, не равная нулю, соответствующая состоянию движения частиц.

Волновая функция этого состояния ни в какой точке интервала (0, а) не обращается в нуль. Свойство волновой функции имеет общий характер: волновая функция основного состояния не имеет узлов, т.е. не обращается в нуль внутри рассматриваемой области, а может обращаться в нуль только на границах.

Из формулы (6) видно, что при увеличении линейного размера ямы минимальная энергия уменьшается. Физическая причина состоит в том, что при уменьшении размеров ямы уменьшается длина волны де Бройля, а уменьшение длины волны означает увеличение энергии частицы. Поскольку спектр дискретен, условие нормировки

для нормировочного множителя дает

Поэтому система собственных функций имеет вид:

. (7)

Квантование энергии частицы.

Первая квантовая теория строения атома была предложена Н. Бором. Он считал, что в изолированном атоме электроны двигаются по круговым стационарным орбитам, находясь на которых, они не излучают и не поглощают энергию. Каждой такой орбите отвечает дискретное значение энергии.
Переход электрона из одного стационарного состояния в другое сопровождается излучением кванта электромагнитного излучения, частота которого равна

ν = Δ E / h,

где Δ E - разность энергий начального и конечного состояний электрона, h - постоянная Планка.

Дискретность энергии электрона является важнейшим принципом квантовой механики. Электроны в атоме могут иметь лишь строго определенные значения энергии. Им разрешен переход с одного уровня энергии на другой, а промежуточные состояния запрещены.

 

14. Анализ функции состояния частицы в одномерной бесконечно глубокой потенциальной яме.

15. Решение уравнения Шредингера для частицы на прямоугольном одномерном потенциальном барьере при E›U₀. Физическая трактовка решения.

16. Решение уравнения Шредингера для частицы на прямоугольном одномерном потенциальном барьере при E‹U₀. Прозрачность прямоугольного барьера.

17. Прозрачность потенциального барьера произвольной формы.

Потенциальный барьер – ограниченная в пространстве область, в которой потенциальная энергия частицы, движущейся в силовом поле, больше, чем по обе стороны от нее

Если потенциальный барьер имеет произвольную форму (рисунок 8.2), то его можно представить как последовательность прямоугольных потенциальных барьеров. Коэффициент прохождения такого барьера в этом случае приблизительно равен произведению коэффициентов прохождения через все прямоугольные потенциальные барьеры, которыми он моделируется. Числовой множитель перед экспонентой в формуле (8.15)

 

 

(8.15)

при плавном изменении потенциальной энергии является медленно меняющейся функцией. Таким образом, для потенциального барьера произвольной формы коэффициент прозрачности определяется

.

18. Эффект Рамзауэра. Квантовомеханическая модель явления.