Учтем наличие спина у частиц и сконструируем полные функции состояния, зависящие как от пространственных, так и от спиновых переменных

Если взаимодействие орбитального и спинового моментов мало, то полную функцию состояния можно представить в виде произведения функции , зависящей от пространственных координат частиц , , и функции спиновых координат , :

. (15.19)

Построенная таким образом -функция будет удовлетворять уравнению Шрёдингера, если его решением будет координатная часть .

Очевидно, что функция будет симметричной, если и одновременно симметричны либо антисимметричны:

; . (15.20)

Аналогично, если одна из функций (например, ) симметрична, а другая (в выбранном примере ) антисимметрична, то произведение их будет функцией, антисимметричной относительно перестановки частиц. Следовательно, имеются две возможности для получения антисимметричной функции :

; . (15.21)

Свойство симметрии функции состояния системы одинаковых частиц может зависеть только от природы самих частиц. И, действительно, симметрия -функции определяется только спином частицы. Если спин частицы целочисленный ( 0, 1, 2,…) то -функция системы частиц будет симметричной; если спин частицы полуцелый ( 1/2, 3/2 …), то -функция системы частиц будет антисимметричной. Эти утверждения составляют содержание теоремы Паули.

Частицы, обладающие целочисленным спином, называют бозонами, а частицы с полуцелым спином – фермионами. Если система состоит из одинаковых бозонов, то ее -функция симметрична по отношению к перестановке любой пары частиц. Если система, состоит из одинаковых фермионов, то -функция меняет знак при перестановке любой пары частиц, то есть является антисимметричной.

 

Простейшими после водородоподобных атомных систем являются атом гелия .

Объясним разделение спектральных термов атома гелия и соответствующих им спектральных линий на синглетные и триплетные. Для этого нужно учесть спин электронов.

В отсутствие спин-орбитального взаимодействия, как отмечено выше, пространственные и спиновые части собственной функции системы двух электронов разделяются. Так как спин может иметь значения, равные , то будут иметь место спиновые функции и . Тогда для системы двух электронов возможны следующие сочетания:

 

, [ ]	, [ ]
, [ ]	, [ ].

Из этих функций можно составить четыре комбинации, удовлетворяющие свойствам симметрии относительно перестановки электронов:

;

+ ;

; (16.22)

+ .