Определение передаточных функций одноконтурной системы. Уравнение замкнутой САУРассмотрим одноконтурную систему, приведенную на рис. 3.15. Пусть имеются внешние воздействия: g(t) – задающее и f(t) – возмущающее. В общем случае могут быть введены несколько возмущающих воздействий, приложенных в разных местах системы.
Рис. 3.15. Структурная схема одноконтурной САУ Передаточные функции замкнутой системы записываются отдельно для каждой комбинации выхода и внешнего воздействия. Выведем выражения для передаточных функций, связывающих выходную величину у с заданием g, выходную величину y с возмущением f и ошибку ε; с заданием g. Основные соотношения в изображениях по Лапласу будут иметь вид: E(S) = G(S)·W0(S) – Y(S)·W3(S) (а) Y(S) = E(S)·W1(S)·W2(S) + F(S)·W2(S) (б) Подставив (а) в (б), получим:
Y(S)[1 + W1(S)·W2(S)·W3(S) ] = G(S)·W0(S) · W1(S)·W2(S) + F(S)·W2(S) (в)
1. Найдем передаточную функцию по выходу y и входу g – Фyg(S). Назовем участок схемы от входа g до выхода y прямой цепью. Передаточная функция прямой цепи Wn(S) = W0(S)·W1(S)·W2(S). Цепь из последовательно соединенных звеньев, входящих в замкнутый контур назовем разомкнутой цепью, ее передаточная функция – W(S) = W1(S)·W2(S)·W3(S). Из выражения (в) передаточная функция Фyg(S) =
2. Передаточная функция замкнутой системы для ошибки (при f(t)=0) определяется из выражения (а) при подстановке в него передаточной функции Фyg(S):
В частном случае (следящие системы и системы стабилизации), когда W0(S) = 1 и W3(S) = 1:
3. Передаточная функция замкнутой системы по возмущающему воздействию (при g(t)=0):
Подставим (а) в (б) при G(s)=0, имеем Y(S)= –Y(S) W(S) +F(S)W2(S), откуда
4. Передаточная функция замкнутой системы для ошибки по возмущающему воздействию (при g(t)=0):
будет той же, что и для величины Y(S) по возмущающему воздействию с точностью до знака
Важно отметить, что знаменатель всех передаточных функций (3.49-3.52) замкнутой системы один и тот же: 1 + W(S), где, как уже говорилось, W(S) - передаточная функция разомкнутой цепи. Для замкнутой системы в целом (рис. 3.15), когда g(t) ≠ 0 и f(t) ≠0 из (в) имеем:
В общем случае передаточная функция звена имеет вид:
где Mi(S) и Qi(S) - многочлены с коэффициентами 1 в младших членах, причем, степень Мi(S) ниже степени знаменателя Qi(S), Ki – коэффициенты усилия отдельных звеньев.
Передаточная функция разомкнутой цепи W(S) приводится к стандартному виду В случае наличия непозиционных звеньев (интегрирующих и дифференцирующих) формулы для K изменятся. В реальных системах степень числителя K·M(S) передаточной функции разомкнутой цепи звеньев обычно ниже степени знаменателя Q(S). Дифференциальное уравнение разомкнутой цепи будет:
а характеристическое уравнение равно Q(S)=0. Для замкнутой системы (рис. 3.15) в выражение (3.53) подставим W0(S)=1, W3(S)=1, получим
Обозначим
Итак, зная передаточные функции звеньев системы, можно алгебраическим путем найти общее дифференциальное уравнение замкнутой системы. В этом состоит одно из важных практических преимуществ использования аппарата передаточных функций. Фигурирующие здесь операторные многочлены K·M(р) и Q(р) соответствуют числителю и знаменателю передаточной функции разомкнутой цепи W(S), а операторный многочлен R(p) зависит от места приложения возмущающего воздействия f(t). Дифференциальное уравнение замкнутой системы (3.55) записывают в виде: D(p) ·y(t)=K·M(p)·g(t) + R(p) ·f(t), где D(p) = K·M(p)+Q(p) Характеристическое уравнение замкнутой системы: D(S)=0. (3.56) Корни S i (i=1,2,3….n) этого характеристического уравнения равны полюсам Si передаточной функции замкнутой системы (3.49). Порядок дифференциального уравнения замкнутой системы (3.45) определяется степенью n многочлена Q(р). В развернутом виде уравнение динамики замкнутой системы можно записать в виде:
Уравнение замкнутой системы может быть записано и иначе – в виде системы уравнений первого порядка – в нормальной форме Коши:
В правые части не обязательно входят все n переменных, поэтому некоторые коэффициенты здесь будут нулями, в некоторые уравнения добавятся справа еще задающее g(t) и возмущающее f(t) воздействия. Характеристическое уравнение этой системы имеет вид:
или в развернутом виде
Переменные yi называют координатами состояния системы. Их число равно общему порядку системы n. Они необязательно все соответствуют реальным физическим величинам воздействий между звеньями системы. Часть из них вводится искусственно. Это фактически координаты математической модели системы. Система уравнений (3.58) может быть записана в матричной форме
а характеристическое уравнение соответственно в виде
где y – вектор-столбец всех координат состояния, А – матрица коэффициентов, Е – единичная матрица, т.е.
Во многих случаях структурная схема замкнутой системы является многоконтурной, содержит различные перекрещивающиеся связи. В этом случае для вычисления передаточной функции многоконтурной системы необходимо прежде всего перестановкой и переносом узлов и сумматоров освободиться от перекрещивающихся связей. Затем, используя первые три правила преобразования структурных схем (правила определения передаточных функций последовательного, параллельного соединения звеньев, звена, охваченного обратной связью), преобразовать ее в одноконтурную систему, передаточные функции которой – Приведем пример определения передаточных функций системы (рис. 3.16):
Рис. 3.16. Структурная схема САУ Перенеся и переставив сумматоры, приведем схему к многоконтурной без перекрещивающихся связей (рис. 3.17):
Рис. 3.17. Преобразованная структурная схема САУ Заменим параллельно соединенные звенья и звено, охваченное обратной связью, эквивалентными звеньями с передаточными функциями
Получим одноконтурную схему (рис.3.18)
Рис. 3.18. Одноконтурная структурная схема САУ Согласно правилам вычисления передаточных функций одноконтурных систем имеем:
|
, (при f(t)=0). Ее называют главной передаточной функцией замкнутой системы:
(3.49)
.
(3.50)
.
. (3.51)
(3.52)
. (3.53)
. Выносимый при этом множитель К является общим коэффициентом усиления разомкнутой цепи звеньев. Тогда для цепи из последовательно соединенных звеньев (рис. 3.12) K=K1K2….Kn. Для цепи из параллельно соединенных позиционных звеньев (рис. 3.13) K=K1 +K2 +….+Kn. Для цепи с отрицательной обратной связью (рис. 3.14) в случае, если звенья W1, W2, W3 позиционные: 
.
,
, 
. (3.54)
, умножим в (3.54) все на общий знаменатель и перейдем к оригиналам, получим дифференциальное уравнение замкнутой системы для регулируемой величины y(t) в виде:
, где 
. (3.55)
. (3.57)
(3.58)
. (3.59)
,
;
, 
, 
и 
легко вычислить. Следует иметь в виду, что при преобразовании структурной схемы нельзя переносить сумматор через точку съема выходного сигнала.
, 
.
,
,
,
.
