Следовательно, для затухания переходного процесса (т.е. для устойчивости САУ) необходимо, чтобы вещественные части корней и вещественные корни были отрицательными

Корни характеристического уравнения можно представить в виде точек на комплексной плоскости величины S (рис. 4.6).

 

Imaginaire (фр.) - мнимый

 

Reel (фр.) -действительный

 

Рис. 4.6. Плоскость корней характеристического уравнения

Для устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни лежали слева от мнимой оси плоскости корней. Вся левая полуплоскость представляет собой область устойчивости. Мнимая ось ω; плоскости корней является границей устойчивости системы. Выделяют три типа границ устойчивости, которые характеризуются соответственно:

1) нулевым корнем S₁=0;

2) парой чисто мнимых корней S_1,2= jω;

3) бесконечно удаленным корнем S₁=¥;

В первом случае граница устойчивости называется апериодической. Это означает, что в характеристическом уравнении (4.3) отсутствует свободный член a_n =0. Дифференциальное уравнение (4.1) в этом случае может быть записано в виде

.

Система будет устойчивой относительно скорости изменения py(t), а отклонение регулируемой величины y(t) может принимать произвольные значения. Систему называют нейтрально устойчивой.

Во втором случае имеем колебательную границу устойчивости. Система имеет незатухающие гармонические колебания с постоянной амплитудой (4.5,г).

В третьем случае вещественный корень может попасть из левой полуплоскости в правую проходя через бесконечность. В этом случае слагаемое в выражении (4.2) обращается в нуль. Это соответствует понижению порядка дифференциального уравнения на единицу. В этом случае а₀=0.

Граница устойчивости третьего типа встречается редко.