Критерий устойчивости Михайлова

 

Этот критерий устойчивости сформулирован в 1938 г. советским ученым А.В. Михайловым, и является, по существу, геометрической интерпретацией принципа аргумента. Он позволяет судить об устойчивости системы на основании рассмотрения некоторой кривой, называемой кривой Михайлова.

Подставим в характеристический полином (4.16) чисто мнимое значение , получим комплексный полином

,

где ,

. (4.21)

 

и называют соответственно вещественной и мнимой функциями Михайлова. Функции и представляют собой модуль и аргумент (фазу) вектора . Вектор при изменении частоты будет описывать своим концом в комплексной плоскости (пл. ) кривую, называемую годографом Михайлова.

Из выражения (4.20) можно определить число правых корней полинома , т.е.

. (4.22)

Из (4.22) видно, что число правых корней будет равно нулю при одном единственном условии:

. (4.23)

Это условие является необходимым, но недостаточным условием устойчивости. Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корней характеристического уравнения были левыми. Не должно быть корней, лежащих на мнимой оси и обращающих в нуль комплексный полином , т.е. должно выполняться еще одно условие:

. (4.24)

Формулы (4.23) и (4.24) представляют собой математическое выражение критерия устойчивости Михайлова.

Для устойчивых систем кривая Михайлова начинается при на вещественной положительной полуоси, поскольку при все коэффициенты характеристического уравнения положительны и .

Учитывая сказанное выше, критерий устойчивости Михайлова можно сформулировать так.

Для того чтобы САУ была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы кривая Михайлова при изменении частоты от 0 до , начинаясь при на вещественной положительной полуоси, обходила только против часовой стрелки последовательно квадрантов координатной плоскости, где - порядок характеристического уравнения.

Кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму, причем конец ее уходит в бесконечность в квадранте координатной плоскости, номер которого равен степени характеристического уравнения.

Признаком неустойчивости системы является нарушение числа и последовательности пройденных кривой Михайлова квадрантов координатной плоскости, вследствие чего угол поворота вектора оказывается меньше, чем .

Анализируя годографы Михайлова, можно установить следующее следствие из критерия Михайлова. При последовательном прохождении кривой Михайлова квадрантов координатной плоскости вещественная и мнимая оси пересекаются ею поочередно. В точках пересечения кривой Михайлова с вещественной осью обращается в нуль мнимая функция Михайлова , а в точках пересечения кривой с мнимой осью обращается в нуль вещественная функция . Поэтому значения частот, при которых происходит пересечение кривой с вещественной или мнимой осью, должны являться корнями уравнений

и . (4.25)

Для устойчивой системы эти корни должны обязательно чередоваться, как показано на рис. 4.10, т.е. должно соблюдаться неравенство: . (4.26)

Рис. 4.10. К правилу чередования корней X(w) и Y(w)

 

В связи с указанным следствием можно привести другую формулировку критерия устойчивости Михайлова:

САУ будет устойчива тогда и только тогда, когда вещественная и мнимая функции Михайлова, приравненные нулю, имеют все действительные и перемежающиеся корни, причем, общее число этих корней равно порядку характеристического уравнения , и при удовлетворяются условия , .