Определение границ устойчивости по критерию Михайлова

Все три типа границ устойчивости можно объединить равенством , включая и . В случае нулевого корня отсутствует свободный член характеристического полинома , и кривая Михайлова идет из начала координат. Если характеристическое уравнение системы имеет корень , то , откуда получаем

и . (4.27)

Графически это означает попадание одной точки кривой Михайлова () в начало координат. Величина есть частота незатухающих колебаний системы (система – на границе устойчивости).

Для границы устойчивости третьего типа (бесконечный корень) конец кривой Михайлова перебрасывается, при этом коэффициент характеристического полинома будет проходить через нулевое значение, меняя знак плюс на минус.

Необходимо помнить, что все остальные корни характеристического уравнения должны иметь отрицательные вещественные части.

Рассмотрим применение критерия Михайлова для определения условия устойчивости САУ, приведенной в параграфе 4.2 (рис. 4.7).

Характеристический полином замкнутой САУ

.

Характеристический комплекс .

Вещественная и мнимая части ,

.

Найдем условие устойчивости из требования чередования корней X(w) и Y(w): . Корень находится из уравнения :

.

Отсюда имеем первое условие устойчивости: . Корень находится из уравнения :

.

Подставляя эти значения в требуемое условие , получаем второе условие устойчивости системы

.

Это условие, конечно, совпадает с полученным ранее условием устойчивости по критерию Гурвица.