Плоскости по двум параметрам

Критерий устойчивости Найквиста для статических САУ.

 

Этот критерий, разработанный в 1932 году американским ученым Г. Найквистом, дает правила, согласно которым по виду частотной характеристики разомкнутой цепи (W_гл(jw)) можно судить об устойчивости замкнутой системы.

Рассмотрим структурную схему САУ в виде:

Рис. 4.14

 

Передаточная функция замкнутой САУ выражается через W(s):

Ф

Пусть , где M(s) и Q(s) многочлены от S, причем степень многочлена M(s) - m меньше степени многочлена Q(s) - n. Тогда

Ф

(4.33)

Многочлен D(s) является характеристическим многочленом замкнутой системы, а Q(s) – характеристическим многочленом разомкнутой цепи этой системы. Степени этих многочленов равны.

 

А. Рассмотрим случаи, когда система устойчива в разомкнутом состоянии и когда система с разомкнутой цепью неустойчива. Эти случаи соответствуют САУ без астатизма.

Рассмотрим функцию W₁(s)=1+W(s), подставим s=jw, получим

(4.34)

Из критерия Михайлова следует, что замкнутая САУ будет устойчивой, если изменение аргумента D(jw) при равно .

Если разомкнутая цепь устойчива, то по критерию Михайлова изменение аргумента Q(jw) при равно .

В этом случае изменение аргумента W₁(jw) должно быть:

, (4.35)

при изменении .

Это значит, что годограф W₁(jw) не должен охватывать начала координат (рис.4.15,а). Вернемся теперь к функции W(jw)=W₁(jw)-1, которая представляет собой АФЧХ разомкнутой цепи (рис.4.15,б).

Рис. 4.15	Рис. 4.16

 

 

Отсюда получаем следующую формулировку частотного критерия Найквиста.

Если разомкнутая цепь системы устойчива, то для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой цепи не охватывала точку с координатами (-1,j0) (см рис. 4.15,б) при изменении частоты ω от 0 до ¥;.

График на рисунке 4.15,б соответствует случаю, когда устойчивость нарушается только с увеличением коэффициента усиления разомкнутой цепи – К, а график на рис. 4.16,б – случаю, когда и при уменьшении К система может стать неустойчивой.

В случае очертания АФЧХ вида, представленного на рисунке 4.16,б - «неохват точки (-1,j0)» означает, что число пересечений АФЧХ оси абсцисс левее точки (-1,j0) сверху вниз (положительный переход) должно равняться числу пересечений снизу вверх (отрицательный переход).

Рассмотрим систему с неустойчивой разомкнутой цепью. Пусть характеристический многочлен Q(s) разомкнутой цепи имеет m корней с положительной вещественной частью (нулевого и мнимых корней Q(s) не имеет). Тогда изменение аргумента Q(jw) при равно:

, при .

(4.36)

Изменение аргумента функции 1+W(jw)=W₁(jw) в этом случае согласно критерию Михайлова для устойчивости замкнутой системы должно быть равно:

или , при

(4.37)

Это значит, что для устойчивости замкнутой системы требуется, чтобы левее точки (-1,j0) разность между числом положительных и числом отрицательных переходов АФЧХ разомкнутой цепи через ось абсцисс равнялась m/2 при изменении частоты .

Для определения устойчивости замкнутых САУ по АФЧХ Цыпкиным Я. З. сформулировано «правило переходов». На рис 4.17 показаны положительный и отрицательный переходы левее точки (-1,j0).

 

Рис. 4.17

Частотный критерий Найквиста в этом случае формулируется следующим образом:

Если разомкнутая цепь САУ неустойчива и ее характеристический многочлен Q(s) имеет m корней с положительной вещественной частью, то для устойчивости замкнутой САУ необходимо и достаточно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы W(jw) при изменении частоты w от 0 до ¥ охватывала точку (-1,j0) в положительном направлении m/2 раз.

Например, если передаточная функция разомкнутой цепи

имеет m=1 (один положительный полюс), то для устойчивости замкнутой системы АФЧХ разомкнутой цепи должна иметь вид, примерно как показано на рисунке 4.18,а, а в случае m=3 – как на рисунке 4.18,б. При этом начальная точка характеристики на оси абсцисс левее точки (-1,j0) считается как половина перехода.

 

а)	На рис. 4.18, а при m=1 имеем один положительный переход и отрицательного перехода, сумма переходов равна . Система устойчива. На рис. 4.18, б при m=3 имеем один положительный переход и плюс еще положительного перехода, сумма переходов равна 1 , т.е .
б)
Рис. 4.18

 

Если в системе имеются местные обратные связи, то необходимо убедится в том, что по цепи местной обратной связи не нарушается устойчивость при разомкнутой главной обратной связи. Проверка устойчивости по цепи местной обратной связи может быть выполнена посредствам использования любых критериев устойчивости. Хотя теоретически вся система в замкнутом состоянии может быть устойчивой при наличии неустойчивости по цепи местной обратной связи, практически такой случай надо избегать, стремясь использовать только устойчивые местные обратные связи. В некоторых режимах работы при имеющихся в САУ нелинейностях в этом случае могут появиться автоколебания или произойдет потеря устойчивости.