Критерий устойчивости Найквиста для астатических САУ

Б. Система, нейтральная в разомкнутом состоянии.

Характеристический многочлен разомкнутой цепи Q(S) имеет нулевые корни, а остальные все корни имеют отрицательные вещественные части. Передаточная функция разомкнутой цепи W_гл (S) имеет соответственно нулевые полюса:

, m<n.

Это соответствует астатическим системам, причем, ν – порядок астатизма. У астатических разомкнутых систем, которые содержат интегрирующие звенья, амплитудно-фазовые характеристики W(jω) не образуют замкнутого контура.

АФЧХ разомкнутой системы будет иметь разрыв непрерывности в точке ω=0. В этой точке модуль А(0)→∞, а фаза делает скачок на -90⁰ (при изменении ). Для получения определенности в ходе АФЧХ необходимо отнести нулевой корень знаменателя передаточной функции W_гл (S) к левой полуплоскости корней. Рассмотрим сначала случай ν=1, т. е. . Плоскость корней Q(S) имеет вид, примерно как показано на рисунке 4.19.

 

Рис.. 4.19	Рис. 4.20

 

Подстановка S= jω при означает перемещение вдоль оси ω от точки 0 вверх (рис..). При этом, чтобы все корни оставить слева, обойдем точку 0, где расположен нулевой корень, по окружности бесконечно малого радиуса S=ρe^jφ, аргумент φ меняется .

Тогда при S→0 передаточная функция W(S) → может быть представлена в виде: , где и R →∞ при ρ;→0. Следовательно, точке ω=0 плоскости корней соответствует на характеристике АФЧХ - W(jω) четверть окружности бесконечного радиуса (рис.4.20), т.е. приращению аргумента соответствует приращение аргумента

.

Поскольку все корни Q(S) оставались слева, то формулировка критерия устойчивости остается такой же, как и для случая устойчивой разомкнутой цепи.

Таким образом, для получения годографа W(jω), с помощью которого можно судить об устойчивости замкнутой САУ, имеющей интегрирующие звенья, необходимо:

- во-первых, построить АФЧХ разомкнутой цепи W(jω);

- во-вторых, дополнить эту характеристику дугой бесконечного радиуса величины ().

Если точка (-1,j0) расположена вне годографа, то система будет устойчива в замкнутом состоянии. Если система неустойчива в разомкнутом состоянии и имеет m правых корней, то для устойчивости САУ необходимо и достаточно, чтобы годограф W(jω) охватывал в положительном направлении точку (-1,j0) раз.

Одним из достоинств критерия Найквиста является то, что он может быть применен в случаях, когда неизвестны уравнения некоторых звеньев системы, либо, когда неизвестно уравнение всей разомкнутой системы, но АФЧХ разомкнутой системы может быть получена экспериментально. Кроме того, критерий Найквиста позволяет довольно просто исследовать устойчивость систем с запаздыванием.

Поскольку параметры системы определяют обычно приближенно, и в процессе работы они могут изменять свою величину, то важное значение имеет оценка удаления АФЧХ разомкнутой системы – W(jω) от точки (-1,j0). Это удаление определяет запас устойчивости системы, который характеризуется двумя величинами: запасом устойчивости по фазе и запасом устойчивости по амплитуде.

Запас устойчивости по фазе определяют как величину угла на частоте среза ω_с, при которой | W(jω_c) | =1.

Запас устойчивости по амплитуде определяют как величину отрезка оси абсцисс - ∆А, заключенного между критической точкой (-1;j0) и АФЧХ (рис. 4.21).

С ростом коэффициента усиления разомкнутой системы модуль АФЧХ растет и при некотором значении коэффициента усиления K=K_кр, называемого критическим коэффициентом усиления, АФЧХ пройдет через точку (-1;j0), т.е. система окажется на границе устойчивости. При K>K_кр система будет неустойчивой.

 

Рис. 4.21. Запасы устойчивости по амплитуде и фазе

29. Определение устойчивости по ЛАЧХ. Запасы устойчивости по амплитуде ∆А и ∆φ;.

Построение ЛАЧХ разомкнутых систем, особенно асимптотических ЛАЧХ, значительно проще, чем построение годографа АФЧХ. Поэтому в инженерной практике широкое применение получил анализ устойчивости САУ, основанный на построении ЛАЧХ и АФЧХ разомкнутой системы.

Рассмотрим сначала случаи: разомкнутая цепь системы устойчива или нейтральна (астатическая замкнутая система). Как установлено ранее АФЧХ разомкнутой цепи не должна охватывать точку (-1,j0). Это значит, что должно выполняться условие А(ω)<1 или L(ω)=20lgA(ω)<0 при φ(ω)=-180⁰. В свою очередь это означает, что точка пересечения фазовой характеристики с линией -180⁰ должна лежать правее частоты среза – ω_ср, т.е. правее точки пересечения амплитудной характеристики L(ω) с осью абсцисс. При этом запас устойчивости по фазе определяется при А(ω_ср)=1 (20lgA(ω_ср)=0); ∆φ(ω_ср)=180⁰- | φ(ω_ср) |; а запас устойчивости по амплитуде при φ(ω)=-180⁰ (Порядок величин ∆L>6 15 дб; ∆φ >30⁰).

Левее частоты среза ω_ср при сложных очертаниях ЛАЧХ может иметь четное число пересечений фазовой характеристики с линией (-180⁰) в соответствии с приводившимся ранее правилом равенства положительных и отрицательных переходов. положительному переходу (сверху вниз) через отрезок (-∞ ÷ -1) характеристики W(jω) соответствует пересечение ЛФЧХ при L(ω)>0 прямой (-180⁰) снизу вверх, а отрицательному переходу (снизу вверх) через отрезок (-∞ ÷ -1) характеристики W(jω) соответствует пересечение ЛФЧХ при L(ω)>0 прямой (-180⁰) сверху вниз (рис. 4.17).

Если САУ имеет астатизм ν; -го порядка, то ЛФЧХ начинается от линии – ν90⁰.

Когда разомкнутая цепь неустойчива, т. е. Q(S) имеет m корней с положительной вещественной частью, в этом случае разность между числом положительных и числом отрицательных переходов фазовой характеристики через линию -180⁰ левее частоты среза ω_ср (где L(ω)=0) должна равняться .

Начало фазовой характеристики в бесконечно удаленной точке при ω 0 на линии (-180⁰) считается за половину перехода.

На рис. 4.24 приведены для примера АФЧХ разомкнутой системы W(jω) и соответствующие ей ЛАЧХ и ЛФЧХ. Из анализа этих ЛАЧХ и ЛФЧХ видно, что разность между числом положительных и числом отрицательных переходов ЛФЧХ прямой -π; при L(ω)>0 равна нулю. Таким образом, если разомкнутая система была устойчива (m=0), то и замкнутая система будет устойчива, при этом запасы устойчивости по амплитуде равны ∆А₁ и ∆А₂, а запас устойчивости по фазе равен ∆φ;.

 

 

Рис. 4.24. АФЧХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы

Для определенности построения ЛАЧХ и ЛФЧХ возьмем передаточную функцию разомкнутой системы с астатизмом первого порядка в виде ,

где K_v=200; T₁=0,5; T₂=0,1; T₃=0,005.

 

Выражение для модуля в логарифмических единицах:

L(ω)=20lgKv -20lgω-20lg +20lg -40lg .

(4.39)

Выражение для фазового сдвига имеет вид:

.

На рис. 4.25 представлены ЛАЧХ и ЛФЧХ.

Построение асимптотической ЛАЧХ начинается с области низких частот (предварительно на стандартной сетке наносятся прямые при сопрягающих частотах: ). Если частота ω меньше первой сопрягающей частоты ω₁, то выражение (4.39) приобретает вид L(ω)=20lgK_v -20lgω;, которому соответствует прямая с отрицательным наклоном -20 дб/дек, проходящая через точку с координатами (ω= 1 с^{-1, L} (ω)=20lgK n). Эту первую асимптоту проводят до первой сопрягающей частоты ω₁. Если эта частота соответствует постоянной времени, находящейся в знаменателе, то необходимо изменить наклон еще на -20 дб/дек и провести асимптоту до следующей частоты излома ω₂. постоянная времени Т₂ находится в числителе, поэтому наклон изменяется на +20 дб/дек. На частоте ω₃ наклон изменяется на -40 дб/дек. Последняя высокочастотная асимптота будет иметь отрицательный наклон -60 дб/дек.

На графиках показаны запасы устойчивости по фазе - ∆φ; и амплитуде - ∆L дб.