Реакция линейных цепей на единичные функции. Переходная и импульсная характеристики цепи, их связь

Единичная ступенчатая функция (функция включения) 1 (t) определяется следующим образом:

График функции 1 (t) показан на рис. 2.1.

 

Функция 1 (t) равна нулю при всех отрицательных значениях аргумента и единице при t ³ 0. Введем в рассмотрение также смещенную единичную ступенчатую функцию

Такое воздействие включается в момент времени t = t..

Напряжение в виде единичной ступенчатой функции на входе цепи будет при подключении источника постоянного напряжения U₀ =1 В при t = 0 с помощью идеального ключа (рис. 2.3).

Рис. 2.3.

 

Единичная импульсная функция (d - функция, функция Дирака) определяется как производная от единичной ступенчатой функции. Поскольку в момент времени t = 0 функция 1 (t) претерпевает разрыв, то ее производная не существует (обращается в бесконечность). Таким образом, единичная импульсная функция

Это особая функция или математическая абстракция, но ее широко используют при анализе электрических и других физических объектов. Подобного рода функции рассматриваются в математической теории обобщенных функций.

Воздействие в виде единичной импульсной функции можно рассматривать как ударное воздействие (достаточно большая амплитуда и бесконечно малое время воздействия). Вводится также единичная импульсная функция, смещенная на время t = t

Единичную импульсную функцию принято графически изображать в виде вертикальной стрелки при t = 0, а смещенную при - t = t (рис. 2.4).

Если взять интеграл от единичной импульсной функции, т.е. определить площадь, ограниченную ею, то получим следующий результат:

Рис. 2.4.

Очевидно, что интервал интегрирования может быть любым, лишь бы туда попала точка t = 0. Интеграл от смещенной единичной импульсной функции d (t-t) также равен 1 (если в пределы интегрирования попадает точка t = t). Если взять интеграл от единичной импульсной функции умноженной на некоторый коэффициент А₀, то очевидно результат интегрирования будет равен этому коэффициенту. Следовательно, коэффициент А₀ перед d (t) определяет площадь, ограниченную функцией А₀ d (t).

Для физической интерпретации d - функции целесообразно ее рассматривать как предел, к которому стремиться некоторая последовательность обычных функции, например