Russian Project Management Association

Тема: Вывод уравнений пограничного слоя.

Вопросы:

1. Постановка задачи.

2. Уравнения движения.

3. Уравнение энергии.

Литература:

1. Борисов Б.В., Карпович Е.А., Федотов Б.Н. Газовая динамика, гидравлика и аэродинамика. –М.: МО СССР, 1972. Ч.I. С. 265-272.

 

Вопрос 1. Постановка задачи.

В задачах, где определяется напряжение трения на стенке и исследуется теплоотдача от газа к обтекаемой поверхности, вязкостью и теплопроводностью среды пренебрегать нельзя.

Более того, эти свойства являются определяющими в формировании потока вблизи стенки. Поэтому система дифференциальных уравнений, полученная нами для невязкой и нетеплопроводной среды, для этих задач непригодно и необходимо рассматривать более общие уравнения.

Однако общая система уравнений, записанная с учетом трения и теплообмена между частицами очень сложна. Для решения же многих прикладных задач достаточно знать только распределение давления в потоке. Поле давлений можно определить с достаточной точностью, оставаясь в рамках модели невязкой, не теплопроводной среды. Поэтому возникла идея выделения из общего потока пограничный слой (ПС). Такое условное деление потока было предложено Прандтлем в 1904 году.

Внутри тонкого ПС система уравнений вязкой теплопроводной среды может быть упрощена, так как некоторые члены ее оказываются малыми по сравнению с другими и могут быть отброшены. Получающаяся в результате таких упрощений система уравнений носит название уравнений пограничного слоя или уравнений Прандтля.

Согласно определению ПС, параметры потока на его границе совпадают с параметрами невязкой среды. В теории ПС они приравниваются к параметрам невязкой среды на стенке. Поэтому рассмотрению движения среды в ПС должно предшествовать изучения движения невязкой среды около той же стенки при тех же начальных параметрах. Только тогда параметры потока на границе ПС становятся известными.

Для пластинки, которую мы будем рассматривать, обтекаемой потоком в продольном направлении, эти параметры постоянны и равны параметрам набегающего потока, то есть для пластинки не требуется предварительного рассмотрения невязкой среды.

Итак, предположим, что среда, вязкая и теплопроводная, движется вдоль полубесконечной горизонтальной пластинки. Движение в этом случае будет плоскопараллельным, поэтому достаточно рассмотреть его в одной из плоскостей, перпендикулярных пластинке и параллельной вектору скорости набегающего потока.

Введем в этой плоскости систему координат хОу. Начало координат поместим в передней кромке пластинки. Ось Ох направим вдоль пластинки, ось Оу – перпендикулярна пластинке. Толщина ПС δ;(х) меняется вдоль пластинки, и, υ; – составляющие скорости по осям координат.

Примем следующие допущения:

1. Будем учитывать только силы, действующие вдоль площадок параллельных пластинке, при выводе уравнений движений.

2. При выводе уравнения энергии предположим, что только тепловой поток, перпендикулярный пластинке, отличен от нуля.

3. υ;<< и, так что суммарная скорость .

4. Изменение составляющих скорости и вдоль осей координат также имеет различный порядок, а именно:

мала, так же как и ,

и , имеют порядок ,

велика по сравнению с другими, так как и меняется от нуля на поверхности пластинки до скорости набегающего потока при . Поэтому для малых велика.

Имея в виду эти особенности движения среды в ПС, запишем законы сохранения для частицы. Эта частица имеет форму параллелепипеда с ребрами параллельными осям координат.

Уравнение неразрывности, выражающее закон сохранения массы, при учете вязкости и теплопроводности сохраняет тот же вид, что и для невязкой нетеплопроводной среды.

Для плоскопараллельного движения

. (10.1)

Для случая

. (10.2)

Теперь перейдем к выводу уравнений движения.

 

 

Вопрос 2. Уравнения движения.

Уравнения получим, применяя к выделенной частице (рис. 10.1) второй закон Ньютона, согласно которому произведение массы на ускорение равняется сумме внешних сил, действующих на частицу.

.

Масса этой частицы равна

.

Ускорения в направлении осей, соответственно равны

и .

Силы вдоль оси Ох – это силы давления и силы трения.

а) Силы давления, приложенные к левой и правой граням, направлены внутрь рассматриваемого объема и в сумме дают

. (10.3)

б) Силы трения действуют на нижнюю и верхнюю грани и противоположны.

. (10.4)

в) Суммарная сила вдоль оси Ох.

. (10.5)

Силы вдоль оси Оу.

Согласно первому предположению силу трения вдоль Оу можно не учитывать.

Силы давления, действующие на верхнюю и нижнюю грань дают сумму

.

Запишем теперь второй закон Ньютона для каждой из проекций

,

.

Сократим на и уравнения примут следующий вид

(10.6)

Левые части уравнений представляют собой полные дифференциалы по времени. Выразим их через производные по х и у, получим:

, (10.7)

. (10.8)

В области ПС левая часть второго уравнения оказывается малой величиной, т.к. и малы.

Поэтому из этого уравнения следует, что , то есть давление поперек ПС не меняется и равно давлению на границе ПС . Это один из важных результатов нашего исследования, которое для тонкого ПС хорошо подтверждается экспериментально. Для пластинки , поэтому в первом уравнении член исчезает и уравнение принимает вид:

. (10.9)

 

Вопрос 3. Уравнения энергии.

Чтобы записать уравнение энергии для ПС, поступим следующим образом: рассмотрим уравнение энергии для невязкой нетеплопроводной среды и внесем в него поправки, учитывающие вязкость и теплопроводность

. (10.10)

Согласно этому уравнению сумма кинетической энергии и энтальпии для какой-либо частицы невязкой и нетеплопроводной среды остается постоянной.

Это значит, что изменение этой величины может происходить за счет работы силы трения и тепла, подведенного к частице, т.е. в правой части необходимо добавить работу сил трения и подвод тепла.

Запишем теперь это сказанное для нашей выделенной частицы ПС.

Работа за единицу времени силы трения, приложенной к ее нижней грани равна . Знак «–» указывают на то, что направление силы и перемещения противоположны.

Работа за единицу времени силы трения, приложенной к верхней грани равна

.

В сумме они дают:

.

Теперь рассмотрим изменения энергии за счет тепла.

Пусть – удельный тепловой поток, направленный вдоль оси Оу. Тогда через нижнюю грань подводится к частице тепловой поток .

Через верхнюю грань отводится тепловой поток .

Суммарный поток, подведенный к частице равен разности первого и второго:

.

Сумма кинетической энергии и энтальпии для рассматриваемой частицы равна

.

На основании высказанного выше запишем:

.

Так как масса частицы не меняется со временем, то ее можно вынести из под знака произведения. Разделим на и получим уравнение энергии в следующим виде:

. (10.11)

Поскольку в ПС , то окончательно получим:

. (10.12)

Движение среды в ПС, как и во всем потоке, определяется вектором скорости и двумя термодинамическими параметрами, например, p и T. Но , то есть является заданной. Следовательно, остается три неизвестные функции

, и .

Для определения этих функций имеем три уравнения:

,

,

.

Однако эта система все же остается незамкнутой, поскольку содержит еще неизвестные функции:

, , и .

Первые две функции из них являются параметрами состояния и связаны с р и Т термодинамическими соотношениями.

А для напряжения трения и теплового потока необходимо иметь дополнительные соотношения, связывающие их с параметрами потока. Только тогда можно решить систему.

Эти уравнения получены для установившегося движения и поэтому справедливы только для ламинарного ПС. Однако, как показывают исследования, для несжимаемой среды уравнения, связывающие осредненные параметры турбулентного потока, будут такими же.

Нужно отметить следующие, если в области ПС и , то первые два уравнения системы (уравнение неразрывности и уравнение движения), не содержат температуры и могут рассматриваться как система уравнений для определения и независимо от уравнения энергии, которое после того, как и найдены, служит для определения температуры в ПС.

В этом случае расчет напряжения трения может быть проведен без решения задачи о теплообмене.

 

 

Russian Project Management Association