Определение эллипса и вывод его канонического уравнения

Эллипсом называется геометрическое место точек на плоскости, для которых сумма расстояний от двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами, есть постоянная величина. Для вывода уравнения эллипса выберем систему координат XOY так, чтобы фокусы эллипса F1 и F2 лежали на оси абсцисс, а начало координат делило бы расстояние между фокусами пополам (Рис.1). Обозначим F1F2=2c. Тогда координаты фокуса F1 будут (с;0), а координаты фокуса F2 будут (-с;0).

Возьмем произвольную точку М(x,y), лежащую на эллипсе. Соединим точку М с фокусами F1F2. Длины отрезков MF1 и MF2 обозначим соответственно через r1 r2: МF1=r1; MF2=r2. Числа r1 и r2 называются фокальными радиусами точки М эллипса. Учитывая, что сумма r1 и r2 есть величина постоянная (это следует из определения эллипса) обозначим: r1+r2=2a, следует 2а>2c или a>c. В противном случае либо не существует точек, удовлетворяющих поставленным требованиям, либо совокупность этих точек сводится к отрезку F1F2. На основании определения эллипса как геометрического места точек, можно утверждать, что для всех точек эллипса, и только для них, должно выполняться равенство: r1+r2=2a (1)

Определим r1 и r2 по формулам расстояния между двумя точками:

(2)

(3)

Поставляя найденные значения r1 и r2 в уравнение (1), получим:

(4)