Гипербола. Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2

Определение. Гиперболой называется множество точек плоскости, абсолютная величина разности расстояний от каждой из которых до двух данных точек F₁ и F₂, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, равная 2 а, а >0, меньшая чем расстояние между фокусами.

Выберем декартову прямо-угольную систему координат ОХY так, как показано на рисунке. Тогда F₁F₂=2 с, F₁(— с,0), F₂(c,0).

Для произвольной точки М(х,у), принадлежащей гиперболе, имеем МF₁—MF₂= 2 а, а < с.

 

Обозначим с ²- а ²= b ², тогда каноническое уравнение гипрболы имеет вид:

 

(3)

 

По свойствам уравнения (3) исследуем свойства гиперболы:

 

1. Координатные оси являются осями симметрии гиперболы. Поэтому гиперболу достаточно исследовать только в первой координатной четверти.

2. Если у = 0, то x = а. Если х = 0, то уравнение (3) решений не имеет. Значит, гипербола пересекает только ось ОХ в точках А₁(— а,0), А₂(а,0), называемых вершинами гиперболы.

3. Так как

,

то |х| а. Поэтому гипербола расположена вне полосы, ограниченной прямыми x= а.

4. Если x возрастает от а до + , то из (1.12) следует, что у возрастает от 0 до + в первой координатной четверти.

5.

- наклонные асимптоты гиперболы.

По полученным свойствам строим гиперболу. Отрезок А₁А₂ и его длина 2 а называются действительной осью гиперболы, а отрезок ОА₁ и его длина а — действительной полуосью. Отрезок В₁В₂ и его длина 2 b — мнимая ось гиперболы, а отрезок ОВ₁ и его длина b — мнимая полуось. Длина отрезка F₁F₂=2 с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр гиперболы.

 

x ²— у ²= а ²

 

Определение. Эксцентриситетом гиперболы называется величина

.

 

Так как для гиперболы с > а, и следовательно, чем меньше ε, тем более сжата гипербола к оси ОХ.