Линии эллиптического и гиперболического типов

Если I₂>О, то уравнение (17), согласно (15), можно записать так:

 

(18)

Так как

 

то а₁₁а₂₂>О, т.е. коэффициенты а₁₁ и а₂₂ оба отличны от нуля и имеют одинаковые знаки, совпадающие со знаком I₁=a₁₁+а₂₂. Будем в дальнейшем считать, что I₁>О, т.е. а₁₁>0 и а₂₂>0 (если это не так, то умножим обе части (18) на — 1). Заметим, что при такой операции (нормировании) знак I₂ не меняется.

 

Теорема. Пусть уравнение (1) КВП — эллиптического типа (I₂>О) нормировано так, что I₁>О. Тогда при I₃<0 — это уравнение эллипса. При I₃=0 — единственная точка (уравнение вырожденного эллипса). При I₃>0 — пустое множество точек (уравнение мнимого эллипса).

 

Доказательство. Так для уравнения (18), I₁=а"₁₁+а"₂₂,

I₂=а"₁₁а₂₂, то из условия I₁>О, I₂>0 следует, что а"₁₁>О, а"₂₂>0. Поэтому уравнение (18) можно записать так:

, при I₃<0; (19)

, при I₃=0; (20)

, при I₃>0; (21)

 

Теорема доказана.

 

Теорема. Пусть уравнение (1) - КВП гиперболического типа (I₂<0). Тогда при I₃ 0 — это уравнение гиперболы, а при I₃=0 - пара пересекающихся прямых.

Доказательство. Так как для уравнения (18):

 

 

то из I₂<0 следует а"₁₁, и а"₂₂ имеют разные знаки. Пусть а"₁₁>0, а"₂₂<О, тогда уравнение (18) можно записать так:

 

, при I₃<0; (22)

, при I₃=0; (23)

, при I₃>0; (24)

 

Уравнение (22) задает гиперболу, симметричную относительно

оси О"Y".

 

Уравнение (23) можно переписать так:

 

 

– пара пересекающихся прямых в системе координат 0"Х"Y".

Уравнение (24) — каноническое уравнение гиперболы.

Случай, когда а₁₁"<О, а₂₂">0 рассматривается аналогично.

Теорема доказана.