Парабола. Определение:Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки
Определение:Параболой называется геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от некоторой точки, называемой фокусом параболы и некоторой прямой, называемой директрисой параболы. Уравнение параболы принятo записывать в следующем виде: y2 = 2px, p>0 (1) - каноническое уравнение параболы. Свойства параболы непосредственно следуют из свойств уравнения: 1.Абсцисса любой точки параболы неотрицательна 2.Парабола проходит через начало координат. 3.Парабола симметрична относительно оси абсцисс. 4.При неограниченном возрастании абсциссы x ордината у возрастает по абсолютной величине. Точка F(;0) называется фокусом параболы, прямая - директрисой. Величина р называется фокальным параметром или просто параметром параболы.
Эллипс Определение. Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2 этой плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная, равная 2 а (а >0), большая, чем расстояние между фокусами. Для составления уравнение эллипса выберем прямоугольную декартову систему координат так, чтобы ось ОХ
проходила через фокусы F1 и F2, а начало координат — точка О находилась в середине отрезка F1F2. Обозначим F1F2 = 2с. Тогда F1(-с,0), F2(c,0). Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса. Тогда MF1+ MF2= 2 а, а >с.
Так как , и уравнение принимает вид: . (2) Пусть координаты точки М1(х1,у1)удовлетворяют уравнению (2). Обозначим r1 = F1M1, r2 = F2M2 — фокальные радиусы точек М1 М2. Тогда , , значит, r1+r2=2 a. Теперь по свойствам уравнения (2) исследуем геометрические свойства эллипса. 1. Оси ОХ и ОУ являются осями симметрии эллипса. Следовательно, эллипс достаточно исследовать только в первой координатной четверти. 2. Эллипс пересекает координатные оси в точках А1(- а,0), А2(а,0), В1(0, b), В2(0,- b), называемых вершинами эллипса. 3. Эллипс расположен в прямоугольнике, ограниченном прямыми х= а, у = b. 4. Из уравнений следует, что при возрастании х от 0 до а в первой координатной четверти, у убывает от b до 0. По полученным свойствам строим эллипс Отрезок А1А2 и его длина 2 а называются большой осью эллипса, а отрезок B1B2 и его длина 2 b называются малой осью эллипса. Отрезок ОА1 с длиной а и отрезок ОВ1 с длиной b называются соответственно большой и малой полуосями эллипса. Длина отрезка F1F2=2 с называется фокусным расстоянием, начало координат — центр эллипса. Если а = b, то получаем каноническое уравнение окружности
Уравнения х = a cost, у = b sint - параметрические уравнения эллипса.
Определение. Эксцентриситетом эллипса называется число Так как с< а, то 0< c <1. Заметим, что у окружности оба фокуса совпадают, поэтому с = 0 и ε = 0. .
Следовательно, эксцентриситет характеризует форму эллипса. Используя понятия эксцентриситета, можно выразить фокальные радиусы произвольной точки M(x,у) эллипса:
r1= а +εх, r2= а —εх
|