Полярное уравнение эллипса, гиперболы, параболы

Выведем полярное уравнение для отличного от окружности эллипса, параболы или правой ветви гиперболы. Для этого совместим полюс полярной системы координат с левым фокусом эллипса (правым фокусом гиперболы) или единственным фокусом параболы, а полярную ось направим перпендикулярно директрисе d, соответствующей фокусу. Обозначим через F, р и ε соответственно фокус, фокальный параметр и эксцентриситет кривой. Пусть М — произвольная точка кривой, МF = r — полярный радиус точки М, φ — ее полярный угол. Тогда

─ полярное уравнение эллипса, отличного от окружности, параболы, правой ветви гиперболы.

Для левой ветви гиперболы

 

 

─ полярное уравнение левой ветви гиперболы.

 

 

 

Классификация кривых второго порядка (КВП)

Уравнение вида

 

a x²+ b ху+ с у²+ d x+ е у+ f =0, (1)

 

где a²+ b²+ c² ≠ 0, называется уравнением кривой второго порядка в прямоугольноу системе ккординат OXY. Преобразуем систему координат таким образом, чтобы уравнение (1) приняло наиболее простой вид.

 

1. Если в уравнении коэффициент b ≠ 0, то можно повернуть систему координат OXY на угол α такой, что в новой системе координат O’X’Y’ уравнение (1) не будет содержать член с произведением x’y’.

Действительно, согласно формулам поворота x = x’cosα – y’sinα, y = y’sinα + y’cosα.. Подставляя значения x и y в (1) легко подсчитать, что коэффициент при x’y’ примет вид

 

-2 a cosα sinα + b ²cos²α - b ²sin²α + 2 c sinα cosα.

 

Упрощая, получаем

- a sin2α + b cos2α + c sin2α = 0,

 

(a - c)sin2α = b cos2α, т.е.

 

,

Таким образом, в дальнейшем предполагаем, что уравнение КВП имеет вид

a x²+ b ху+ с у²+ d x+ е у+ f =0. (2)

 

2. Если в уравнении (2) а ≠ 0 и d ≠ 0, либо с ≠ 0 и е ≠ 0, то, осуществляя параллельный перенос системы координат ОХУ, получаем уравнение КВП, не содержащее член с х, соответственно у.

Действительно, пусть а ≠ 0, d ≠ 0. Выделим полный квадрат при переменной х в (2).

 

Применим формулы параллельного переноса

, ,

 

Тогда уравнение примет вид

где . Если же с ≠ 0 и е ≠ 0, то аналогичным образом исключаем в полученном уравнении член с у.

Итак можно считать, что КВП представляется одним из трёх видов уравнений:

ах ² + by ² + c = 0;

ах ² + by + c = 0;

аy ² + bх + c = 0.

 

Рассмотрим случаи:

1) с ≠ 0. Тогда

Если – (а/с) › 0 и – (b/c) › 0, то это уравнение эллипса.

Если – (a/c) ‹ 0 b – (b/c) ‹ 0, то получаем пустое множество точек на плоскости.

Если – (a/c) › 0 и – (b/c) ‹ 0, то уравнение гиперболы.

Аналогичным образом получам гиперболу вытянутую вдоль оси ОУ.

2) с = 0. Тогда ах ² + by ² = 0;

Если a и b – разных знаков, то всегда можно считать, что а › 0,

b ‹ 0.

Уравнение будет задавать две пересекающиеся прямые ax by = 0

Если же a и b одного знака, то уравнению удовлетворяет единственная точка О (0,0).

Вывод: любая кривая второго порядка является эллипсом, гиперболой, параболой, парой пересекающихся прямых, парой параллельных прямых, прямой, точкой или пустым множеством.

Укажем еще один способ классификации КВП.