Линии параболического типа

Пусть КВП задана уравнением вида (1) и является кривой

параболического типа, т.е. I₂=О. Тогда I₁ О. Действительно,

если I₁=а₁₁+a₂₂=О, то I₁²=а₁₁²+а₂₂²+2a₁₁a₂₂=О, т.е.

 

(*)

 

Так как I₂=a₁₁a₂₂—а₁₂²=О, то из (*) следует, что -(a₁₁²/2) -(а₂₂²/2)=а₁₂².. Значит, a₁₁=a₂₂=a₁₂=0 – противоречие с тем, что уравнение (1) — уравнение кривой второго порядка.

Заметим, что если в уравнении (1) а₁₂ О, то путем поворота системы координат 0ХУ можно придти к уравнению вида (14)

 

Так как I₁=а'₁₁+а₂₂ О, I₂=a'₁₁а'₂₂=О, то один из коэффициентов a'₁₁ и а'₂₂ равен нулю, а другой не равен нулю.

Будем считать, что а'₁₁=О, а'₂₂ 0 (случай а'₁₁ О, a'₂₂=0

рассматривается аналогично). Тогда I₁=a'₂₂ и уравнение (14)

можно записать так:

 

(25)

 

Осуществим теперь параллельный перенос:

 

, т.е.

. (26)

Тогда x"=x' и у"=у'+а'₂₃/I₁. Значит, в новой системе координат

О"Х"У" уравнение КВП примет вид:

 

(27)

 

где

 

Теорема. Пусть уравнение (1) — есть уравнение параболического типа. Тогда при I₃ 0 это уравнение параболы, а при I₃=0 — это уравнение либо пары параллельных действительных прямых, либо пары мнимых параллельных прямых.

 

Доказательство. Итак, для уравнения (1)

 

(28)

Так как I₁ О, то при I₃ 0 следует, что а"₁₃ О, а при I₃=0 получаем, что а"₁₃=О. Тогда уравнение (27) можно записать так

при I₃ О, (29)

 

при I₃=О, (30)

Очевидно, что уравнение (29) — уравнение параболы. Чтобы

оно стало каноническим, достаточно осуществить параллельный перенос системы координат 0"Х"У":

 

y"=Y;

 

и обозначить – а "₁₃/I₁=р. Тогда в системе координат ОХУ получаем уравнение

У² = 2рХ.

 

Уравнение (30) можно записать так:

 

(31)

 

Тогда, если a"₃₃/I₁<0, то из (31) получаем

 

 

– пара параллельных прямых: и

Если же а"₃₃/I₁>0, то уравнению (31) не удовлетворяют

координаты ни одной точки плоскости, т.е. геометрический образ является мнимым. Поэтому и говорят, что в атом случае получаем пару мнимых параллельных прямых. Теорема доказана.