Цилиндрические поверхности. Определение. Цилиндрической поверхностью называется множество параллельных прямых (образующих), проходящих через все точки некоторой линии

 

Определение. Цилиндрической поверхностью называется множество параллельных прямых (образующих), проходящих через все точки некоторой линии, называемой направляющей.

 

 

 

Пусть цилиндрическая поверхность задана таким образом в прямоугольной системе координат OXYZ, что образующие этой

поверхности параллельны оси OZ, а направляющая лежит в плоскости OXY и задается уравнением:

 

F(x,у) =0

 

Если взять произвольную точку M(z,y,z) на цилиндрической поверхности, то ее проекция на плоскость OXY есть точка M₁(х₁,у₁,0). Так как точки M и М₁ лежат на образующей, то х₁=х, у₁=у. А так как точка М₁ лежит на направляющей, то координаты точки М₁, а, значит, и точки M, удовлетворяют уравнению F(x,у)=0.

 

Итак, уравнению удовлетворяют координаты любой точки

цилиндрической поверхности. Следовательно, уравнение

 

F(x,у)=0

 

– искомое уравнение цилиндрической поверхности.

 

Если в прямоугольной системе координат OXYZ направляющая является кривой второго порядка, задаваемой каноническим уравнением вида F(x,у)=0, а образующие параллельны оси OZ, то цилиндрическими поверхностями второго порядка будут:

 

1) х²+y²=z² — прямой круговой цилиндр;

 

2) - эллиптический цилиндр;

 

3) - гиперболический цилиндр;

 

4) у²=2рх - параболический цилиндр.

 

Заметим, что характерной чертой уравнения рассматриваемых цилиндрических поверхностей, является отсутствие в этих уравнениях одной из переменных.