1. Является ли заданное отображение
на своей естественной области определения непрерывным в точке
?
Пример 1.
,
,,
.
Решение. Очевидно, что заданное отображение определено на всем
. Представим его в виде
, где
,
, и покажем, что
и
непрерывны в любой точке
. Пусть последовательность
сходится к
в
. Тогда
.
Отсюда следует, что
непрерывно.
Докажем непрерывность
. Будучи непрерывной, функция
ограничена на
, т. е.
. А так как
равномерно на
, то начиная с некоторого номера
(почему?). Тогда

.
Отсюда следует, что
в
. Поэтому в силу произвольности
отображение
непрерывно в любой точке из
.
Пример 2.
.
Решение. Пусть последовательность
сходится к
в
. Тогда
при
.
Теперь в силу неравенства Коши-Буняковского,

.
(полученная оценка показывает также, что
принадлежит
при
из
; поэтому отображение
определено на всем
). Значит,
– непрерывное отображение в точке
.
Пример 3.
.
Решение. Покажем, что отображение не является непрерывным. Возьмём последовательность
, которая стремится к нулюв
, поскольку
при
.
Рассмотрим теперь выражение
.
Следовательно, последовательность
нестремится к нулю при
,а потому
нестремится к
в
.
Пример 4.
.
Решение. Покажем, что отображение не является непрерывным. Заметим, что
.
Возьмем последовательность
, которая сходится к нулю в
, поскольку
при
.
Имеем
при
,
а потому
нестремится к
в
.
2. Является ли заданное отображение
: а) непрерывным;
б) равномерно непрерывным; в) удовлетворяющим условию Липшица?
Пример 1.
.
Решение. а) Пусть
. Отображение
является непрерывным, так как



(мы воспользовались неравенством
).
б) Покажем, что
не является равномерно непрерывным. Возьмём
. Тогда
при
, но

,
а значит,
не стремится к нулю при
. Это противоречит определению равномерной непрерывности (проверьте).
в) Так как
не является равномерно непрерывным, то оно не удовлетворяет условию Липшица (почему?).
Пример 2.
.
Решение. Покажем, что
удовлетворяет условию Липшица с константой
. Заметим, что
.
Рассмотрим функцию
. Тогда
.
Следовательно, по теореме Лагранжа
,
а значит,
.
Так как
удовлетворяет условию Липшица, то оно равномерно непрерывно, а потому и непрерывно.
Пример 3.
.
Решение. Покажем, что
удовлетворяет условию Липшица. Действительно,

Так как
, то по теореме Лагранжа
.
Поэтому при любых x, y справедливо неравенство
.
Так как
удовлетворяет условию Липшица, то оно является равномерно непрерывным.
Пример 4.
.
Решение. а) Покажем, что
непрерывно. Действительно, если
в
, то числоваяпоследовательность
сходится к
(почему?). Тогда
при
.
б) Покажем, что
не является равномерно непрерывным. Пусть последовательности
и
заданы следующим образом:
,
,
,
.
Тогда
при
,
но
при
.
в) Так как
не является равномерно непрерывным, то оно не удовлетворяет и условию Липшица.
Пример 5.
.
Решение. а) Покажем, что
не удовлетворяет условию Липшица. Допустим противное, то есть что
.
Возьмем
. Так как
(1)
то
, то есть
,
. Противоречие.
б) Покажем, что
является равномерно непрерывным. Заметим, что функция
является равномерно непрерывной на
. Действительно, она равномерно непрерывна на
по теореме Кантора и равномерно непрерывна на
по теореме Лагранжа, так как
при
. Равномерная непрерывность функции
означает, что
.
Теперь, если
, то
. Поэтому в силу равенства (1)
.