Топология метрических пространств

 

Всюду ниже - метрическое пространство.

Определение. Пусть . - окрестностью точки а называется открытый шар с центором в точке а радиуса , т. е. множество

Определение. Пусть . Точка а называется внутренней точкой множества А, если она принадлежит А вместе с некоторой своей -окрестностью.

Определение. Множество всех внутренних точек множества А обозначается и называется внутренностью множества А.

Определение. Множество называется открытым, если каждая его точка внутренняя.

Определение. Множество называется замкнутым, если его дополнение открыто.

Определение. Пусть . Наименьшее замкнутое множество, содержащее А, называется замыканием множества А и обозначается (или ).

Теорема (о принадлежности замыканию). Пусть . Следующие утверждения равносильны:

1) ;

2) для любого ;

3) для некоторой последовательности точек множества А.

Определение. Если точка удовлетворяет условию 2) (или, что равносильно, 3)) предыдущей теоремы, то она называется точкой прикосновения множества А.

Следствие. Замыкание множества А равняется объединению множества А и множества его точек прикосновения.

Определение. Границей множества А называется множество

.

Точки границы называются граничными точками множества А.

Определение. Множество называется ограниченым, если оно содержится в некотором шаре.

 

2.2.1. Является ли данное множество Т открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве ? Найти его замыкание, внутренность и границу, проиллюстрировать ответ на чертеже (таблица 2.2.1).

Таблица 2.2.1

 

Вариант	Т	Вариант	Т

2.2.2. Является ли данное множество М открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве ? Найти его замыкание, внутренние и граничные точки (таблица 2.2.2).

Таблица 2.2.2

 

Вариант	М	Вариант	М

2.2.3. Для данного множества А выяснить, является ли множество открытым, замкнутым, ограниченным в (таблица 2.2.3).

 

Таблица 2.2.3

 

Вариант		А	Вариант		А