Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Компактные множества в метрических пространствах




Определение.Подмножество К метрического пространства Х называется компактным (компактом), если из любого его покрытия открытыми множествами можно выбрать конечное покрытие.

Определение. Подмножество метрического пространства Х называется предкомпактным (в другой терминологии относительно компактным), если оно содержится в компактном подмножестве пространства Х (это равносильно тому, что его замыкание компактно).

Теорема. Подмножество компактно в Х тогда и только тогда, когда оно предкомпактно и замкнуто.

Теорема (свойство Больцано-Вейерштрасса). Подмножество К метрического пространства Х компактно тогда и только тогда, когда из любой последовательности его точек можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся к точке из К.

Теорема.Подмножество К метрического пространства предкомпактно (компактно) тогда и только тогда, когда оно ограничено (соответственно ограничено и замкнуто).

Определение. Подмножество К метрического пространства C[a,b] называется равномерно ограниченным, если существует такая константа С, что .

Определение. Подмножество К метрического пространства C[a,b] называется равностепенно непрерывным, если

.

Теорема Арцела-Асколи.Подмножество К пространства C[a,b] предкомпактно тогда и только тогда, когда оно равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Теорема.Подмножество К пространства предкомпактно тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1) ;

2) .

 

 

2.5.1. Является ли данное множество М а) компактым, б) пред-компактным в пространстве (таблица 2.5.1)?

Таблица 2.5.1

 

Вариант М

 

2.5.2. Выяснить, является ли множество М предкомпактным, компактным в (таблица 2.5.2).

 

Таблица 2.5.2

 

Вариант М Вариант М

2.5.3. Определить, является ли данное множество М предком-пактным в пространстве (таблица 2.5.3).

 

Таблица 2.5.3

 







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 928. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2019 год . (0.001 сек.) русская версия | украинская версия