Полнота метрических пространств

 

Определение. Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной, если

.

Каждая сходящаяся последовательность фундаментальна, но обратное, вообще говоря, неверно.

Определение. Метрическое пространство называется полным, если в нем каждая фундаментальная последовательность сходится.

Важным примером полного метрического пространства служит числовая прямая с естественной метрикой (критерий Коши).

Теорема. 1) Замкнутое подмножество полного пространства полно.

2) Полное подмножество метрического пространства замкнуто.

2.3.1. Выяснить, является ли последовательность фундамен-тальной в данном пространстве ? Найти , если он существует (таблица 2.3.1).

Таблица 2.3.1

 

Вариант	X
1	2	3

 

Окончание таблицы 2.3.1

 

1	2	3

(К – канторовское множество).

 

2.3.2. Выяснить, является ли заданное метрическое пространство полным.

 

Вариант 1. , .

Вариант 2 , .

Вариант 3 , .

Вариант 4 , .

Вариант 5 , .

Вариант 6 , .

Вариант 7 , .

Вариант 8. , .

Вариант 9 , .

Вариант 10 , .

2.3.3. Выяснить, является ли заданное метрическое пространство полным.

 

Вариант 1. Пространство непрерывно дифференциру-емых на отрезке функций с метрикой

;

Вариант 2. Пространство всех дважды дифференцируемых на отрезке функций с метрикой .

Вариант 3. Пространство числовых последова-тельностей , удовлетворяющих условию , с метрикой ;

Вариант 4. Пространство всех непрерывных на отрезке функций с метрикой .

Вариант 5. Пространство всех ограниченных числовых после-довательностей с метрикой

;

Вариант 6. с метрикой .

Вариант 7. Пространство сходящихся к нулю последова-тельностей с метрикой

;

Вариант 8. с метрикой

.

Вариант 9. Пространство с сходящихся последовательностей с метрикой ;

Вариант 10. с метрикой .

Вариант 11. Пространство ограниченных и непрерывных на интервале функций с метрикой ;

Вариант 12. с метрикой .