Примеры решения типовых задач. 1.Является ли данная функция а) полуметрикой;

 

1. Является ли данная функция а) полуметрикой;

б) метрикой на данном множестве Х?

 

Пример 1. - пространство интегрируемых по мере Лебега функций на отрезке [ a, b ], .

Решение. Проверим выполнение аксиом полуметрики (метрики). Справедливость аксиом ) и 2) очевидна. С другой стороны, если

,

то в силу одного из свойств интеграла Лебега (какого?) отсюда следует лишь, что п. в. (относительно меры Лебега), а потому свойство 1) не имеет места. Справедливость свойства 3) вытекает из следующей цепочки равенств и неравенств:

Таким образом, функция является полуметрикой, но не является метрикой.

 

2. Проверить, сходится ли заданная последовательность x_n точек метрического пространства X к точке a.

Пример 1. .

 

Решение. Заметим, что | |. Так как при всех имеем

при ,

то при . Значит, x_n сходится к a в .

Пример 2. .

 

Решение. Рассмотрим . Обозначим функцию через и найдем наибольшее значение функции на отрезке . Имеем , , если или , причем , ,

Значит(по правилу нахождения наибольшего значения функции на отрезке),

,

а потому x_n сходится кточке a в пространстве .

 

Пример 3. x_n = , .

 

Решение. Имеем

при .

Так как не стремится к нулю, то x_n не сходится к a в l₃.

 

Пример 4. x_n = , , .

Решение. Имеем

при .

Значит, x_n сходится к a в l₂.

Пример 5. .

Решение. Имеем

 

.

Применим теорему Беппо Леви о предельном переходе под знаком интеграла. Введем обозначение . Функция является интегрируемой на для любого , и

.

Кроме того, .Значит, по теореме Б. Леви

.

Следовательно, x_n сходится к a в .

 

Пример 6. , , .

 

Решение. Имеем

при (мы воспользовались тем, что ~ при ). Значит, x_n сходится к a в .

 

3. Выяснить, является ли данное условие: а) необходимым, б) достаточным, в) необходимым и достаточным для сходимости последовательности x_n в метрическом пространстве X?

Пример 1. – пространство непрерывных функцийс метрикой .

Условие: последовательность x_n (t) поточечно сходится к непрерывной функции a (t).

 

Решение. Не нарушая общности, можем считать, что . Покажем, что условие не является ни необходимым, ни достаточным. Для выяснения достаточности условия рассмотрим следующую последовательность x_n (t), заданную на графически (рисунок 6):

Рисунок 6 – График функции x_n (t)

 

Последовательность x_n сходится к функции поточечно на (почему?), но

,

то есть нестремится к нулю. Значит, данное условие не является достаточным для сходимости последовательности x_n в метрическом пространстве .

Теперь допустим, что в , то есть при . Покажем на примере, что отсюда не следует поточечная сходимость x_n к a. Рассмотримпоследовательность и функцию . Имеем

при .

Значит, в . Но последовательность не сходится к поточечно, так как при . Таким образом, данное условие не является и необходимым для сходимости последовательности x_n в метрическом пространстве .

 

Пример 2. .

Условие: , где .

 

Решение. Положим . Данное условие означает, что при . Докажем, что это условие является достаточным для сходимости последовательности x_n к а в пространстве . Поскольку при выполнении этого условия при достаточно больших n, то при таких n и при всех k имеем . Поэтому при этих n и при всех k. Значит,

при , а это означает, что . Следовательно, в . Достаточность доказана.

Теперь покажем, что условие не является необходимым. Рассмотрим последовательность точек из и точку из . У нас 0 при (остаток сходящегося ряда стремится к нулю). Значит, в . Но в этом примере (сравните с гармоническим рядом), а потому данное условие при не выполняется. Наконец, если бы оно выполнялось для точки , то по доказанному в первой части решения было бы , что противоречит единственности предела.

 

4. Найти предел последовательности x_n в метрическом пространстве X, если он существует.

 

Пример 1. .

 

Решение. 1 способ. Допустим, x_n сходится к некоторой точке a в пространстве . Так как для любого k

при ,

то имеем и покоординатную сходимость x_n к a. Но покоординатно x_n сходится к точке

(почему?), которая не принадлежит пространству (ряд расходится, по необходимому признаку). Мы пришли к противоречию. Значит, x_n не сходится в .

2 способ. Так как

при ,

то последовательность x_n не является фундаментальной в . Следовательно, x_n не сходится в .

 

Пример 2. , .

 

Решение. 1 способ. Допустим, x_n сходится к некоторому элементу a в . Так как при для любого k, то имеем покоординатную сходимость x_n к a. Но покоординатно x_n сходится к последовательности

,

для которой при (почему?). Следовательно, x_n не сходится к a в . Противоречие.

2 способ. Заметим, что последовательность x_n не является фунда-ментальной в . Действительно,

x_{n+ 1} = ,

причем при . Так как x_n не фундаментальна, то она и не сходится в .