Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры решения типовых задач. 1. Является ли последовательность фундаментальной в данном пространстве X?




1. Является ли последовательность фундаментальной в данном пространстве X? Найти , если он существует.

 

Пример 1 . ,

,

где K – канторово множество.

 

Решение. Так как канторово множество имеет лебегову меру нуль, то и − множество меры нуль. Значит, п.в. Последняя последовательность поточечно сходится к нулю. Покажем, что сходится к 0 в . В самом деле,

по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла (последовательность подинтегральных функций мажорируется, например, интегрируемой на отрезке [0,1] функцией ).

Итак, последовательность сходится, а потому фундаментальна.

 

Пример 2. .

 

Решение. Так как − множество меры нуль, то почти всюду на . Покажем, что эта последовательность не фундаментальна в нашем пространстве:

.

 

(мы воспользовались леммой Римана из теории рядов Фурье, согласно которой , но можно было бы вычислить интеграл и непосредственно).

 

2. Является ли метрическое пространство полным?

 

Пример 1. , .

 

Решение. Если последовательность точек данного пространства фундаментальна, то . Поэтому для любого положительного числа найдется такой номер N, что при всех m, n>N справедливо неравенство

. (1)

Следовательно, для любого фиксированного k=1,2,3. Значит, для любого фиксированного k=1,2,3 числовая после-довательность фундаментална в . В силу критерия Коши, для любого фиксированного k=1,2,3 существует предел

.

Полагая теперь в (1) , получаем, что при всех n>N справедливо неравенство , т. е. последовательность сходится в данном пространстве к х. Таким образом, пространство - полное.

 

Пример 2. − пространство вещественнозначных ограни-ченных функций на отрезке , наделенное метрикой

.

 

Решение. Покажем, что любая фундаментальная последо-вательность ( ) в является сходящейся. Её фундамен-тальность означает, что выполняется неравенство

. (2)

Зафиксируем число . Тогда числовая последовательность в силу (2) является фундаментальной в . По причине полноты пространства последовательность сходится. Положим , . Тем самым на отрезке определена функция , к которой сходится поточечно. Осталось доказать, что

1) ;

2) при .

С этой целью перейдем в (2) (а точнее, в неравенстве , справедливом при всех t из ) к пределу при . Получим, что

. (3)

Пусть и . Полагая в (3) , получаем, что при всех выполняется оценка

,

из которой следует ограниченность . Следовательно, . Наконец, формула (3) означает, что . Поэтому

при .

 

Пример 3. Пусть – пространство числовых последовательностей , удовлетворяющих условию , где − заданная последовательность положительных чисел и

.

 

Решение. Покажем, что данное пространство полно. Пусть − фундаментальная последовательность в . Это значит, что

. (4)

Тогда для любого фиксированного имеем

,

или

.

Следовательно, для любого фиксированного числовая последо-вательность является фундаментальной, а потому сходится. Введем бозначение и положим . Осталось показать, что

1) и

2) при .

Из (4) следует, что любого фиксированного М, что в пределе при дает . Переходя теперь к пределу при , получим

,

т. е.

. (5)

Фиксируем . Вследствие неравенства Минковского выполняется неравенство , и мы имеем в силу (5)

,

а это значит, что . Теперь (5) показывает, что при , а потому ( ) сходится в нашем пространстве к .

 

Пример 4. − множество непрерывно дифференцируемых на функций с метрикой .

 

Решение. Рассмотрим последовательность и покажем, что она является фундаментальной, но не является сходящейся в нашем пространстве. Заметим, что эта последовательность поточечно сходится к функции , где

А так как , то по теореме Лебега о предельном переходе под знаком интеграла имеем

при .

Это означает, что в пространстве последовательность сходится к . Следовательно, она фундаментальна в Х. С другой стороны, если предположить, что пространство Х полно, то последовательность сходится в данном пространстве к некоторой непрерывно дифференцируемой функции , и мы получим, что имеет два предела ( и ) в ­ противоречие. Итак, данное пространство не является полным.







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 1385. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.007 сек.) русская версия | украинская версия