Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры решения типовых задач. 1.Является ли данное множество Т открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве ?




1.Является ли данное множество Т открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве ? Найти его замыкание, внутренность и границу, сделать чертеж.

 

Пример 1 .

 

Решение. Множество Т есть треугольник, ограниченный прямыми , у которого удалены стороны. Оно открыто. В самом деле, если точка а принадлежит Т, причем положительное число меньше расстояния от а до ближайшей стороны треугольника Т, то . Следовательно, . Далее, присоединяя к множеству Т все его точки прикосновения, получим, что замыкание Т есть треугольник

(объясните, почему). Следовательно, Т не замкнуто, и есть объединение сторон этого треугольника. Наконец, очевидно, что множество Т ограничено. Выполнение чертежа оставляем читателю.

2. Является ли данное множество открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве ? Найти его замыкание, внутренние и граничные точки.

 

Пример 1. .

 

Решение. Множество М не является открытым, и более того, ни одна его точка не является внутренней. Действительно, для любой и для любого шара имеем , но , так как . Следовательно, .

Множество М является замкнутым, так как оно содержит все свои точки прикосновения. Действительно, пусть есть точка прикосновения множества М. Тогда в для некоторой последовательности . Но равенства влекут (почему?). А это значит, что .

Граница множества совпадает с самим множеством М, что теперь сразу следует из формулы .

Множество М не является ограниченным, так как, например, после-довательность принадлежит М, но

.

 

Пример 2. .

Решение. Покажем, что М является открытым. Возьмём произвольную точку . Так как , то найдется такое , что . Покажем, что . В самом деле, для любого справедливо неравенство

.

Поэтому

.

Значит, .

Так как М открыто, то .

Множество М не является замкнутым, так как содержит не все свои точки прикосновения. Действительно, возьмём последовательность точек из М. Тогда , но , т.е. постоянная функция не принадлежит М.

Замечание. Так как любые две точки можно связать непрерывным путем , лежащим в , то пространство (и вообще любое нормированное пространство) всегда связно,и поэтому в нем нет открытых и одновременно замкнутых собственных подмножеств.

Теперь покажем, что . Действительно, если принадлежит , то найдется последовательность , равномерно сходящаяся к на . А тогда

.

Обратно, если , то последовательность принадлежит М и сходится к равномерно (проверьте!), а потому принадлежит .

Теперь ясно, что

.

Наконец, М не является ограниченным, так как, наприммер, последовательность постоянных функций принадлежит М, но .

 

Пример 3. .

 

Решение. Покажем, что М открыто. Пусть . Тогда , а потому для некоторого . Для любого имеем , и следовательно,

,

т. е. . Таким образом, точка x0 – внутренняя для М.

Покажем, что

.

Действительно, если принадлежит , то найдется последовательность , равномерно сходящаяся к на . А тогда , т. е. принадлежит М.

Обратно, если , то последовательность принадлежит М и сходится к равномерно на (проверьте), а потому принадлежит .

Теперь ясно, что

.

Очевидно, что данное множество ограничено.

 

3. Для данного множества А выяснить, является ли множество открытым, замкнутым, ограниченным в .

 

Пример 1. .

 

Решение. Множество замкнуто, так как содержит в себе все свои точки прикосновения. Действительно, если есть точка прикосновения множества В, то найдется такая последовательность что в . Отсюда следует, что при всех имеем (почему?). Но так как , то и . Значит, .

Так как замкнуто, то оно не является открытым, поскольку пространство связно (см. замечание к примеру 2 в задаче 1). Но легко дать и прямое доказательство. Действительно, точка принадлежит , но для любого точка не принадлежит В, хотя и лежит в -окрестности точки . Следовательно, точка не является внутренней для В.

Наконец, ограничено, так как при всех из множества В справедливо неравенство

.

 

Пример 2. .

 

Решение. Множество не является открытым. Для доказательства покажем, что точка не является для него внутренней. Возьмём и найдём такое натуральное N, что . Тогда

,

но , поскольку .

Множество не замкнуто. Действительно, рассмотрим последовательность . Тогда сходится к точке , так как при , но .

Множество ограничено, так как при всех из В.

 

Пример 3. .

 

Решение. Покажем, что множество открыто.

Для любого элемента найдется такое , что

.

Если (шар рассматривается, конечно, в ), то

 

.

Тогда и

.

Теперь в силу неравенства Минковского имеем

.

Значит, , т. е. . Итак, .

Так как открыто, то не замкнуто по замечанию из решения примера 2 к задаче 1. Дадим прямое доказательство этого факта. Точки , где , очевидно, принадлежат . Но в то же время сходится в к .

Покажем, что не ограничено. Рассмотрим последовательность

.

Имеем , так как

,

но в то же время

при .

 

Пример 4. .

 

Решение. Покажем, что не является открытым. Возьмём и . Найдётся такое натуральное , что . Тогда , но .

Множество не является и замкнутым. Для доказательства рассмотрим последовательность

.

Она сходится к точке

,

которая не принадлежит , так как

.

Множество ограничено, поскольку неравенство влечет оценку

.







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 3246. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.014 сек.) русская версия | украинская версия