Примеры решения типовых задач. 1.Является ли данное множество Т открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве ?

1. Является ли данное множество Т открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве ? Найти его замыкание, внутренность и границу, сделать чертеж.

 

Пример 1 .

 

Решение. Множество Т есть треугольник, ограниченный прямыми , у которого удалены стороны. Оно открыто. В самом деле, если точка а принадлежит Т, причем положительное число меньше расстояния от а до ближайшей стороны треугольника Т, то . Следовательно, . Далее, присоединяя к множеству Т все его точки прикосновения, получим, что замыкание Т есть треугольник

(объясните, почему). Следовательно, Т не замкнуто, и есть объединение сторон этого треугольника. Наконец, очевидно, что множество Т ограничено. Выполнение чертежа оставляем читателю.

2. Является ли данное множество открытым, замкнутым, ограниченным в пространстве ? Найти его замыкание, внутренние и граничные точки.

 

Пример 1. .

 

Решение. Множество М не является открытым, и более того, ни одна его точка не является внутренней. Действительно, для любой и для любого шара имеем , но , так как . Следовательно, .

Множество М является замкнутым, так как оно содержит все свои точки прикосновения. Действительно, пусть есть точка прикосновения множества М. Тогда в для некоторой последовательности . Но равенства влекут (почему?). А это значит, что .

Граница множества совпадает с самим множеством М, что теперь сразу следует из формулы .

Множество М не является ограниченным, так как, например, после-довательность принадлежит М, но

.

 

Пример 2. .

Решение. Покажем, что М является открытым. Возьмём произвольную точку . Так как , то найдется такое , что . Покажем, что . В самом деле, для любого справедливо неравенство

.

Поэтому

.

Значит, .

Так как М открыто, то .

Множество М не является замкнутым, так как содержит не все свои точки прикосновения. Действительно, возьмём последовательность точек из М. Тогда , но , т.е. постоянная функция не принадлежит М.

Замечание. Так как любые две точки можно связать непрерывным путем , лежащим в , то пространство (и вообще любое нормированное пространство) всегда связно,и поэтому в нем нет открытых и одновременно замкнутых собственных подмножеств.

Теперь покажем, что . Действительно, если принадлежит , то найдется последовательность , равномерно сходящаяся к на . А тогда

.

Обратно, если , то последовательность принадлежит М и сходится к равномерно (проверьте!), а потому принадлежит .

Теперь ясно, что

.

Наконец, М не является ограниченным, так как, наприммер, последовательность постоянных функций принадлежит М, но .

 

Пример 3. .

 

Решение. Покажем, что М открыто. Пусть . Тогда , а потому для некоторого . Для любого имеем , и следовательно,

,

т. е. . Таким образом, точка x ₀ – внутренняя для М.

Покажем, что

.

Действительно, если принадлежит , то найдется последовательность , равномерно сходящаяся к на . А тогда , т. е. принадлежит М.

Обратно, если , то последовательность принадлежит М и сходится к равномерно на (проверьте), а потому принадлежит .

Теперь ясно, что

.

Очевидно, что данное множество ограничено.

 

3. Для данного множества А выяснить, является ли множество открытым, замкнутым, ограниченным в .

 

Пример 1. .

 

Решение. Множество замкнуто, так как содержит в себе все свои точки прикосновения. Действительно, если есть точка прикосновения множества В, то найдется такая последовательность что в . Отсюда следует, что при всех имеем (почему?). Но так как , то и . Значит, .

Так как замкнуто, то оно не является открытым, поскольку пространство связно (см. замечание к примеру 2 в задаче 1). Но легко дать и прямое доказательство. Действительно, точка принадлежит , но для любого точка не принадлежит В, хотя и лежит в -окрестности точки . Следовательно, точка не является внутренней для В.

Наконец, ограничено, так как при всех из множества В справедливо неравенство

.

 

Пример 2. .

 

Решение. Множество не является открытым. Для доказательства покажем, что точка не является для него внутренней. Возьмём и найдём такое натуральное N, что . Тогда

,

но , поскольку .

Множество не замкнуто. Действительно, рассмотрим последовательность . Тогда сходится к точке , так как при , но .

Множество ограничено, так как при всех из В.

 

Пример 3. .

 

Решение. Покажем, что множество открыто.

Для любого элемента найдется такое , что

.

Если (шар рассматривается, конечно, в ), то

 

.

Тогда и

.

Теперь в силу неравенства Минковского имеем

.

Значит, , т. е. . Итак, .

Так как открыто, то не замкнуто по замечанию из решения примера 2 к задаче 1. Дадим прямое доказательство этого факта. Точки , где , очевидно, принадлежат . Но в то же время сходится в к .

Покажем, что не ограничено. Рассмотрим последовательность

.

Имеем , так как

,

но в то же время

при .

 

Пример 4. .

 

Решение. Покажем, что не является открытым. Возьмём и . Найдётся такое натуральное , что . Тогда , но .

Множество не является и замкнутым. Для доказательства рассмотрим последовательность

.

Она сходится к точке

,

которая не принадлежит , так как

.

Множество ограничено, поскольку неравенство влечет оценку

.