Примеры решения типовых задач. 1. Является ли отображение F метрического пространства X в себя сжимающим?

1. Является ли отображение F метрического пространства X в себя сжимающим? Найти , где . Оценить расстояние от до неподвижной точки, если F является сжимающим.

 

Пример 1. .

Решение. Оценим расстояние в :

(мы воспользовались неравенством ). Значит, F является сжимающим отображением с константой Липшица .

Построим последовательность . По условию, . Поэтому , ,

.

А так как , где – неподвижная точка, то

.

 

Пример 2. , .

 

Решение. Оценим расстояние в :.

.

Значит, – сжимающее отображение с константой Липшица . По условию, . Тогда а потому

 

Пример 3. .

 

Решение. Допустим, что отображение F является сжимающим, то есть . При из последнего неравенства следует, что

. (1)

Подставив в левую часть неравенства (1), получим

при

(мы воспользовались соотношением при ). Правая же часть неравенства (1), как легко проверить, при этом значении х равна . Следовательно, неравенство (1) при указанных x, y и примет вид - противоречие. Значит, F не является сжимающим. (Аналогичное решение получается и при ).

 

2. Применим ли принцип сжимающих отображений к заданному интегральному уравнению в пространстве Х при ? При найти приближенное решение с точностью до 0,01 и сравнить его с точным решением.

 

Пример 1. . (2)

 

Решение. Определим отображение формулой

.

Тогда исходное уравнение запишется в виде , и искомое решение есть неподвижная точка отображения f. Метрическое пространство является полным, поэтому, если мы покажем, что f – сжимающее отображение в себя, то можно будет применить принцип сжимающих отображений.

То, что отображение f непрерывную на функцию переводит в непрерывную, в данном случае очевидно (а в общем следует из свойств интеграла, зависящего от параметра). В силу соответствующей теоремы отображение f является сжимающим, если и только если , где . При этом константа Липшица . В нашем случае , . Следовательно, является сжимающим, если и только если , т.е. при и , и не является сжимающим при .

Решим уравнение (2) приближенно при . При этом отображение является сжимающим, а значит для нахождения приближенного решения можно воспользоваться методом итераций. Поскольку выбирается произвольно, возьмём . Дальнейшие приближения находятся по формулам , .

Установим номер k, при котором элемент будет давать точность приближения 0,01. Используя оценку абсолютной погрешности (х − точное решение), находим n из неравенства

.

В нашем случае . Кроме того, легко подсчитать, что . Следовательно, для нахождения нужного числа итераций имеем неравенство .

Поскольку ему удовлетворяет, то будет приближенным решением исходного уравнения с точностью 0,01. Найдём :

,

.

Итак, приближённое решение с нужной точностью есть

.

Найдем точное решение данного уравнения. Из (2) следует, что его решение имеет вид

, где , (3)

то есть . Подставив в (3), получим

,

откуда . Следовательно, точное решение есть .

Сравним его с приближённым:

.