Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры решения типовых задач. 1. Является ли отображение F метрического пространства X в себя сжимающим?




1. Является ли отображение F метрического пространства X в себя сжимающим? Найти , где . Оценить расстояние от до неподвижной точки, если F является сжимающим.

 

Пример 1. .

Решение. Оценим расстояние в :

(мы воспользовались неравенством ). Значит, F является сжимающим отображением с константой Липшица .

Построим последовательность . По условию, . Поэтому , ,

.

А так как , где – неподвижная точка, то

.

 

Пример 2. , .

 

Решение. Оценим расстояние в :.

.

Значит, – сжимающее отображение с константой Липшица . По условию, . Тогда а потому

 

Пример 3. .

 

Решение. Допустим, что отображение F является сжимающим, то есть . При из последнего неравенства следует, что

. (1)

Подставив в левую часть неравенства (1), получим

при

(мы воспользовались соотношением при ). Правая же часть неравенства (1), как легко проверить, при этом значении х равна . Следовательно, неравенство (1) при указанных x, y и примет вид - противоречие. Значит, F не является сжимающим. (Аналогичное решение получается и при ).

 

2.Применим ли принцип сжимающих отображений к заданному интегральному уравнению в пространстве Х при ? При найти приближенное решение с точностью до 0,01 и сравнить его с точным решением.

 

Пример 1. . (2)

 

Решение. Определим отображение формулой

.

Тогда исходное уравнение запишется в виде , и искомое решение есть неподвижная точка отображения f. Метрическое пространство является полным, поэтому, если мы покажем, что f – сжимающее отображение в себя, то можно будет применить принцип сжимающих отображений.

То, что отображение f непрерывную на функцию переводит в непрерывную, в данном случае очевидно (а в общем следует из свойств интеграла, зависящего от параметра). В силу соответствующей теоремы отображение f является сжимающим, если и только если , где . При этом константа Липшица . В нашем случае , . Следовательно, является сжимающим, если и только если , т.е. при и , и не является сжимающим при .

Решим уравнение (2) приближенно при . При этом отображение является сжимающим, а значит для нахождения приближенного решения можно воспользоваться методом итераций. Поскольку выбирается произвольно, возьмём . Дальнейшие приближения находятся по формулам , .

Установим номер k, при котором элемент будет давать точность приближения 0,01. Используя оценку абсолютной погрешности (х − точное решение), находим n из неравенства

.

В нашем случае . Кроме того, легко подсчитать, что . Следовательно, для нахождения нужного числа итераций имеем неравенство .

Поскольку ему удовлетворяет, то будет приближенным решением исходного уравнения с точностью 0,01. Найдём :

,

.

Итак, приближённое решение с нужной точностью есть

.

Найдем точное решение данного уравнения. Из (2) следует, что его решение имеет вид

, где , (3)

то есть . Подставив в (3), получим

,

откуда . Следовательно, точное решение есть .

Сравним его с приближённым:

.







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 5339. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2020 год . (0.005 сек.) русская версия | украинская версия