Сжимающие отображенияВсюду ниже - метрическое пространство. Определение. Отображение называется сжимающим, если оно удовлетворяет условию Липшица с константой Липшица . Другими словами, существует такое , что при всех выполняется неравенство Определение. Точка из Х называется неподвижной для отображения , если . Теорема (принцип сжимающих отображений). Сжимающее отображение А полного метрического пространства в себя имеет неподвижную точку, причем ровно одну. При этом неподвижная точка может быть найдена методом последовательных приближений (итераций), т.е. как предел последовательности, заданной рекуррентным соотношением , где выбирается произвольно. Оценка абсолютной погрешности приближенного равенства дается формулой . Теорема. Пусть k(t,s) и g(t) - непрерывные функции (). Отображение
в пространстве является сжимающим, если и только если , где . При этом . 2.6.1. Является ли отображение F метрического пространства X в себя сжимающим? Найти , где . Оценить расстояние от до неподвижной точки в случае, если F является сжимающим (таблица 2.6.1).
Таблица 2.6.1
2.6.2. Применим ли принцип сжимающих отображений к заданному интегральному уравнению в пространстве Х при ? При найти приближенное решение с точностью до 0,01 и сравнить его с точным решением (таблица 2.6.2).
Таблица 2.6.2
|