Преобразование Лапласса. Передаточные функции.

Преобразование Лапласса существенно облегчает решение уравнений вида (1), т.к. позволяет заменить дифференциальные уравнения на алгебраические. При этом в результате применения интегрального преобразования Лапласса к уравнению динамики функция f вещественного переменного (времени t) преобразуется в функцию F комплексного переменного (p).

p = a ± gw,

где a - постоянный коэффициент, g - мнимая единица (g² = -1).

Функция вещественного переменного f (t) называется оригиналом функции, функция комплексного переменного F(p) - изображением оригинала. Любому оригиналу функции соответствует его изображение f(t) = F(p),

которое определяется по таблицам или формуле перехода

F(p) = ò f(t)e^-pt dt.

Для замены оригинала его изображением существует правило дифференцирования: операция дифференцирования вещественного переменного соответствует оператору умножения преобразования простейшей функции на комплексную переменную соответствующей степени:

f(t) = F(p),

 

f ^I(t) = F(p)×p,

 

f ^II(t) = F(p)×p²,

 

f ^III(t) = F(p)×p³

×××××××××××××××××××××××××××××;

f ⁿ(t) = F(p)×pⁿ.

Применив правило к уравнению (1) получим:

 

A₀x_вых(p)p^m + A₁x_вых(p)p^m-1 + …+ A_m-1x_вых(p)p + A_mx_вых(p) =

= B₀x_вх(p)pⁿ + B₁x_вх(p)p^n-1 + …+ B_n-1x_вх(p)p + B_nx_вх(p).

 

Или

 

x_вых(p)(A₀p^m + A₁p^m-1 + …+ A_m-1p + A_m) = x_вх(p)(B₀pⁿ + B₁p^n-1 + …+ B_n-1p + B_n)

 

Очень удобно при исследовании АСР представлять связь входной и выходной величин с помощью передаточной функции.

Передаточная функция W (p) - это отношение изображения оригинала выходного сигнала к изображению оригинала входного сигнала при нулевых начальных условиях. Передаточная функция определяется по конечному выражению, т.е.

.

 

Знаменатель передаточной функции называется характеристическим полиномом

.