Частотные характеристики

 

Часто на входе системы имеется гармоническое воздействие. Тогда пользуются частотной характеристикой, позволяющей определить изменение амплитуды и фазы сигнала при прохождении его через объект управления, т.е. выявить зависимость изменения выходной величины от входной, если последняя изменяется по синусоидальному закону.

 

на входе – х_вх = А_вхsin(wt + j_вх) на входе – х_вых = А_выхsin(wt + j_вых)

 

где w - частота сигнала; А - амплитуда сигнала; j - фаза сигнала.

Используют четыре вида частотных характеристик: амплитудные, фазовые, амплитудо-фазовые, логарифмические.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) – есть зависимость отношения амплитуд выходного и входного сигналов от частоты или

.

 

Фазо-частотная характеристика (ФЧХ) – есть зависимость разности фаз выходного и входного сигналов от частоты или

.

 

Амплитудно-фазо-частотная характеристика (АФЧХ). Пусть на комплексной плоскости есть вектор, длина которого АЧХ, а угол его наклона к положительной действительной полуоси ФЧХ. При изменении частоты от 0 до ¥ конец вектора описывает кривую, которая называется годографом вектора.

В полярных координатах вектор описывается следующим выражением

 

АФЧХ – это годограф вектора передаточной функции (при изменении w от 0 до ¥).

При замене комплексной переменной р на jw или W(p) ® W(jw)

запишем

 

Данное выражение разложим по формуле Эйлера

А(w)cos(w) + jА(w)sin(w) = Re(w) + jIm(w),

 

где Re(w) = А(w)cos(w) – действительная частотная характеристика;

Im(w) = А(w)sin(w) – мнимая частотная характеристика.

 

; .

 

План построения частотной характеристики:

1). Замена комплексного переменного р в передаточной функции W(p) на jw.

2). В знаменателе функции группируются члены, содержащие и не содержащие мнимую единицу, т.е. мнимые и действительные числа. При этом предварительно освобождаются от старших степеней j.

3). Освобождаются от иррациональности в знаменателе, умножая числитель и знаменатель на выражение сопряженное знаменателю.

4). Определяют действительную и мнимую частотные характеристики.

5). Определяют АЧХ и строят ее график.

6). Определяют ФЧХ и строят ее график.

7). Строят график АФЧХ.