Основные свойства средней арифметической

1. Средняя арифметическая постоянной величины равна этой постоянной.

2. Если каждую варианту увеличить или уменьшить на одно и то же постоянное число, то новая средняя увеличится или уменьшится на это же число.

3. Если каждую варианту умножить или разделить на одно и то же постоянное число, то новая средняя увеличится или уменьшится во столько же раз.

4. Сумма всех отклонений вариантов от средней (как простой, так и взвешенной) всегда равна нулю:

 

и , (6.5)

 

5. Сумма всех квадратов отклонений вариантов от средней (как простой так и взвешенной) всегда меньше суммы квадратов отклонений от любой другой произвольной величины:

 

, (6.6)

 

6. Если все частоты разделить (умножить) на одно и то же постоянное число, средняя от этого не изменится.

7. Средняя многочлена равна многочлену средних:

 

. (6.7)

Средняя гармоническая применяется при обобщении обратных значениях изучаемого явления.

Прямые значения признака - такие значения, которые увеличиваются при увеличении определяющего показателя и характеризуемых ими явлений и уменьшаются при уменьшении.

Обратные значения признака - такие значения, которые увеличиваются при уменьшении определяющего показателя и характеризуемых ими явлений и уменьшаются при увеличении.

Средняя гармоническая простая:

, (6.8)

 

Средняя гармоническая взвешенная:

, (6.9)

 

Средняя квадратическая простая:

, (6.10)

 

Средняя квадратическая взвешенная:

, (6.11)

 

Средняя кубическая простая:

, (6.12)

Средняя квадратическая взвешенная:

. (6.13)

 

Средняя геометрическая:

 

, , (6.14)

 

где – число значений признака;

– знак перемножения;

– варианта признака.

Мода – наиболее часто встречающееся значение признака в исследуемой совокупности.

Медианой называется такое значение признака, которое стоит в середине ряда вариант расположенных по порядку возрастания или убывания (ранжированный ряд). Медиана делит ранжированный ряд пополам, в результате чего у половины единиц совокупности значение признака меньше медианы, а у половины больше медианы.

Мода в дискретном вариационном ряду определяется частотой появления той или иной величины варианты, варианта с наибольшей частотой – мода.

Мода в вариационном интервальном ряду рассчитывается по формуле:

 

, (6.15)

 

где - минимальная граница модального интервала;

- величина модального интервала;

- частота интервала предшествующая модальному интервалу;

- частота следующего за модальным интервалом;

- частота модального интервала.

Модальный интервал - это интервал, содержащий моду (имеющий наибольшую частоту).

Медиана в дискретном вариационном ряду рассчитывается в зависимости от того, четное или нечетное количество элементов содержит ряд.

При нечетном количестве единиц определяется номер варианты , которому соответствует медиана:

 

, (6.16)

 

При четном количестве единиц:

, (6.17)

 

Медиана в интервальном вариационном ряду рассчитывается по формуле:

 

, (6.18)

 

где - начальное значение медианного интервала;

- величина медианного интервала;

- сумма частот ряда;

- сумма накопленных частот, всех интервалов, предшествующих медианному;

– частота медианного интервала.

Медианный интервал это интервал, кумулятивная (накопленная) частота которого равна или превышает половину суммы частот.

Квартиль делит ряд на четыре одинаковые части. Второй квартиль равен медиане. Расчет первого и третьего осуществляется по формулам:

 

, (6.19)

Вместо медианного интервала при расчете берется интервал, в котором находится варианта, отсекающая ¼ численности частот:

 

, (6.20)

 

Вместо медианного интервала при расчете берется интервал, в котором находится варианта, отсекающая ¾ численности частот.