Постановка задачи.
Пусть 
-функция, определенная на некотором множестве 
. Будем рассматривать задачу минимизации функции . Любая задача максимизации функции на 
равносильна задаче минимизации функции 
на том же множестве . Поэтому можно ограничиться лишь изучением задач минимизации.
Классический подход.
Пусть кусочно-непрерывная и кусочно-гладкая функция на отрезке [a, b] ([a, b]ÎX). Это значит, что на [a, b] может существовать лишь конечное число точек, в которых функция либо терпит разрыв первого рода, либо непрерывна, но не имеет производной. Тогда точками экстремума функции на [a, b] могут быть лишь те точки, в которых выполняется одно из следующих условий: 1) терпит разрыв; 2) непрерывна, но производная не существует; 3)производная 
существует и равна нулю; 4) 
или 
. Такие точки принято называть точками подозрительными на экстремум. Поиск точек экстремума функции начинают с нахождения всех точек, подозрительных на экстремум. После того, как такие точки найдены, проводят дополнительное исследование и отбирают среди них те, которые являются точками локального минимума (максимума).
Упражнение 1. Запишите достаточное условие того, что подозрительная точка x* Î [a, b] является точкой локального минимума (максимума).
Чтобы найти глобальный минимум (максимум) функции на [a, b], нужно перебрать все точки локального минимума (максимума) на [a, b] и среди них выбрать точку с наименьшим (наибольшим) значением функции, если таковая существует (если вместо [a, b] имеем дело с R, то следует изучить поведение функции при 
или 
).
К сожалению, классический метод имеет весьма ограниченное применение. В практических задачах вычисление зачастую является непростым делом. Например, значения функции определяется из наблюдений или эксперимента, и получить информацию о её производной крайне трудно. Поэтому важно иметь также и другие методы поиска экстремума, не требующие вычисления производной, удобные для реализации на ЭВМ.
Упражнение 2. Найти точки экстремума функции = sin3(x) + cos3(x) на отрезках [0, 3p/4], [0, 2p].
Упражнение 3. Пусть = (1 + e1/x )-1 при x¹0, f(0)=0. Найти точки экстремума этой на отрезках [-1, 0], [-1, 1], [1, 2] и на R.
Поиск экстремумов функций одной переменной является самостоятельной и часто встречаемой задачей. Кроме того, к нему сводится более сложная задача поиска экстремумов функций множества переменных.
