Золотая пропорция

Оставим ненадолго геометрию человеческого тела и рас­смотрим, казалось бы, совершенно посторонний, пример из социологии. Вездесущие социологи при проведении опро­сов иногда включают в анкету вопрос о счастье, пытаясь выяснить количественное соотношение «счастливых» и «несчастливых» людей. Однако вопрос о счастье очень сложен, поскольку у каждого человека свое представление о счастье. И социологи формируют свой вопрос так: «Удов­летворены ли вы своей жизнью и работой?».

В «Вестнике АН СССР» № 4 за 1990 год опублико­ван анализ отечественных и зарубежных данных, который показывает, что число удовлетворенных и неудовлетворенных своими обстоятельствами людей подчиняется пропорпии знаменитого «золотого сечения». Суть «золотого сече­ния» выражается следующей формулой: меньшая часть целого так относится к большей, как большая к целому. Золотая пропорция соответствует числу 1,6180339 и выражает соразмерность, гармоничность, красоту природ­ных объектов, а также шедевров искусства и архитектуры. Впервые этот термин ввел великий древнегреческий астро­ном Клавдий Птолемей (90-160), а популярность он по­лучил благодаря Леонардо да Винчи (1452-1519).

Результаты опросов в 15 странах мира (США, Япо­ния, Западная Европа) показали, что счастливыми себя считают 63% опрошенных, в то время как золотая пропор­ция соответствует 61,8%. Исследователи делают вывод, что, по-видимому, соотношение между счастливыми и несчаст­ливыми не случайно, а подчинено общим структурным за­кономерностям, свойственным природным и в том числе биологическим объектам. Пропорция золотого сечения на­столько гармонична и естественна, что обнаруживается в Мироздании буквально во всем. Ее целесообразно распро­странить па все сферы нашей деятельности, в том числе экономику и бизнес. Например, соотношение государствен­ной и частной собственности, видимо, должно соответст­вовать примерно 38% и 62%. Почему бы нам в нашей жизни во всех сферах деятельности не использовать про­порцию золотого сечения, отражающую гармонию? Для чего нужно выдумывать какие-то новые «законы и подзакон­ные акты», а потом в недоумении разводить руками над полученными результатами, когда нашими предшественниками уже найдены, опробованы и доказаны самой жизнью универсальные закономерности?

Ценителем золотой пропорции был Иоганн Кеплер. Он говорил: «Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них это теорема Пифагора, а другое - деление отрезка в крайнем и среднем отношении... Первое можно сравнить с мерой золота, второе же больше напоминает драгоценный камень» [120. С. 8].

Однако, как утверждает Мелхиседек, пропорция золо­того сечения - это идеальный случай.

«Я убежден, что не существует золотосеченных прямо­угольников или спиралей, если только они не созданы ис­кусственно. Природа не использует прямоугольники и спирали золотого сечения, - она не знает, как это делать. Причина, по которой природа не знает этого, состоит в том, что спираль золотого сечения буквально бесконечно уходит вовнутрь - может быть, это трудно доказать карандашом на листе бумаги, но теоретически спираль продолжается и продолжается бесконечно. Она также бесконечно продол­жается и наружу... Таким образом, прямоугольники золо­того сечения не имеют ни начала, ни конца. Они уходят вовнутрь и наружу бесконечно... Жизнь не знает, как поступать с тем, что не имеет начала и конца... она прибегла к хитрости. Она подыскала другую спираль для творения. Жизнь вычислила математическую систему, которая так хорошо все аппроксимирует, что вы вряд ли скажете, где разница» [41. С. 221]. И далее Д. Мелхиседек обращается к спирали и ряду Леонардо Фибоначчи, который жил на 250 лет раньше да Винчи.

 

Леонардо Пизанский (1180-1240) по прозвищу Фибонач­чи, что значит «сын добродушного», итальянский математик, жил и творил в городе Пиза. Путешествуя по Востоку, он оз­накомился с достижениями арабской математики и ознакомил с ними Западную Европу. В 1202 году Фибоначчи опуб­ликовал большой труд - «Книгу о счете», а в 1220 году - «Практику геометрии». Эти работы, впервые содержавшие задачи на применение алгебры в геометрии, оказали боль­шое влияние на развитие математики. Он же, Фибоначчи заменил римские цифры в математике на арабские.

 

Леонардо вел довольно аскетический образ жизни, мо­нашествовал и часто медитировал. Обладая врожденной наблюдательностью, он, гуляя по лесу, обратил внимание на то. что в растениях и цветах проявляется связь с числа­ми. В частности, он заметил, что когда росток ахиллеи про­бивается из-под земли, у него вырастает только один ма­ленький листик, затем на стебле появляется еще один, далее - два, а потом число листьев нарастает в соответствии с установленной Леонардо закономерностью: каждое по­следующее число равно сумме двух предыдущих, т. е. по­лучается ряд: 1,1, 2, 3, 5, 8, 13..., названный рядом Фибо­наччи. Такую же закономерность он получил, контролируя количество лепестков у различных цветов. Так, лилии и ирисы имеют по три лепестка; лютик - пять лепестков; некоторые дельфиниумы - восемь лепестков, златоцвет - 13, у некоторых астр их 21, а у маргариток почти всегда 34, 55 или 89 лепестков [41. С. 223].

В «Книге о счете», решая среди прочих задачу о том, «сколько пар кроликов в один год от одной пары рождает­ся», Фибоначчи также получил последовательность чисел: 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34... Как показала жизнь, эта последо­вательность постоянно повторяется в окружающем нас мире. Этот ряд Фибоначчи обладает удивительным свойством: если начать делить одно число этой последовательности на предыдущее, мы будем асимптотически приближаться к трансцендентному числу 1,6180339, выражающему пропор­цию золотого сечения, но никогда его не достигнем. Одна­ко разница эта будет настолько мала, что ею можно пренебречь. Поэтому число 1,618 называют числом Фибоначчи, обозначают фи и считают его соответствующим пропорции золотого сечения.

Д. Мелхиседек пишет: «Помните, я говорил, что спи­раль золотого сечения не имеет начала и конца и что для жизни это трудный момент? Она может справиться с бесконечнос­тью, но ей трудно иметь дело с чем-то, что не имеет начала... И природа сотворила ряд Фибоначчи, чтобы обойти про­блему. Как если бы Бог сказал: „Хорошо, идите и творите через спираль золотого сечения", а мы ему: „Но мы не знаем, как". Поэтому мы что-то создали, но не спираль золотого сечения, а нечто столь быстро приближающееся к ней, что с трудом можно заметить разницу» [41. С. 224].

Ряд Фибоначчи используется не только в ботанике и животноводстве. Кстати, одним из первых обратил внима­ние на проявления золотой пропорции в ботанике И. Кеплер. А вообще, этот ряд хорошо отражает все объективные закономерности.

Так, интервалы, определяющие основные мажорные и минорные тонические трезвучия в музыке, соответствуют числам Фибоначчи 1, 3, 5 или 1, 5, 8. «Как показало изуче­ние музыкальных произведений, кульминация мелодии тоже часто приходится на точку золотого сечения ее общей про­должительности» [96. С. 11].

Анализ пропорций выдающихся памятников архитекту­ры также показал, что их основные размеры находятся меж­ду собой в отношениях, очень близких числам Фибоначчи. Например, прославленная церковь Покрова на Нерли. Вряд ли ее творцы были знакомы с работами Фибоначчи. Но им не было чуждо чувство гармонии! Пропорции церкви соот­ветствуют предельному отношению чисел Фибоначчи фи = = 1,618, почти так называемому золотому сечению. «Как мера и красота укажут...» - этим принципом руководствовались зодчие, возводя храм Покрова на Нерли. И оказалось, что его размеры относятся примерно как 2: 3: 5: 8, т. е. совпадают с числами Фибоначчи, а высота храма и его длина составляют золотую пропорцию [96. С. 11].

Еще в XIII столетии Фома Аквинский сформулировал один из основных принципов эстетики - чувствам человека приятны объекты, обладающие правильными пропорциями Он ссылался на прямую связь между красотой и математикой, которую нередко можно «измерить» и найти в природе В инстинктах человека заложена позитивная реакция на правильные геометрические формы как в окружающей природе, так и в рукотворных объектах, таких как произве­дения живописи. Фома Аквинский, таким образом, ссылал­ся на тот же принцип, который открыл Фибоначчи.

В течение многих столетий люди пытались разгадать секреты пирамиды в Гизе. В отличие от других египетских пирамид, это не гробница, а скорее неразрешимая головоломка из числовых комбинаций. Потрясающие изобрета­тельность, мастерство, время и труд архитекторов пирами­ды, использованные ими при возведении вечного символа, указывают на чрезвычайную важность их послания, кото­рое они хотели передать будущим поколениям. Ведь их эпоха была дописьменной, доиероглифической и символы были единственным средством записи открытий.

Ключ к геометроматематическому секрету пирамиды в Гизе, так долго бывшему для человечества загадкой, в дей­ствительности был передан Геродоту храмовыми жрецами, сообщившими ему, что пирамида построена так, чтобы пло­щадь каждой из ее граней была равна квадрату ее высоты.

Длина грани пирамиды в Гизе равна 783,3 фута (238,7 м), высота пирамиды - 484,4 фута (147,6 м). Длина грани, деленная на высоту, приводит к соотношению фи = 1,618. Высота 484,4 фута соответствует 5813 дюймам (5-8-13) -это числа из последовательности Фибоначчи. Эти интерес­ные наблюдения подсказывают, что конструкция пирамиды основана на пропорции фи = 1,618. Современные ученые склоняются к интерпретации, что древние египтяне построили ее с единственной целью - передать знания, которые они хотели сохранить для грядущих поколений.

Интенсивные исследования пирамиды в Гизе показали, сколь обширными были в те времена познания в математи­ке и астрологии. Во всех внутренних и внешних пропорци­ях пирамиды число 1,618 играет центральную роль.

Но не только египетские пирамиды построены в соот­ветствии с совершенными пропорциями золотого сечения. То же самое явление обнаружено и у мексиканских пирамид.

Возникает мысль, что как египетские, так и мексикан­ские пирамиды были возведены приблизительно в одно время людьми одного уровня развития.

Естественно, что пропорция фи не обошла и биологию. Так, если взглянуть на скелет лягушки, то можно увидеть, что все до единой кости находятся в пропорциях фи. Длина частей тела стрекозы также выдержана в этой пропорции, и даже в каждом виде рыб присутствует это вездесущее соотношение. А что же человек?

Первым подметил проявление закона золотого сечения в пропорциях человеческого тела А. Цейзинг [106. С. 86]. Он установил закономерность, согласно которой деление общей высоты человека в отношении золотой пропорции проходит через естественные членения тела. «Для того что­бы целое, разделенное на две неравные части, казалось пре­красным с точки зрения формы, между меньшей и большей частями должно быть то же самое отношение, что и между большей частью с целым».

Оказывается, и строение костных структур нашего ор­ганизма основано на элементах золотой пропорции. Еще основатель графостатики К. Кульман обратил внимание, что кости человека и животного представляют собой оптималь­ную систему. Их геометрия соответствует максимальной несущей способности при минимальном расходе материи, образующей кости, в полном согласии с законами науки о сопротивлении материалов. Расположение клеток губчатых частей костей соответствует схемам графостатики, обеспе­чивающим восприятие наибольших нагрузок. Микроскопи­ческий анализ стеблей растений показал то же самое.

 

Рис. 16. Пропорции человека

ГЧ (размер головы) Г; ШШ₁ (плечи) = 2Г; ЛЛ₁ (размах рук) = 8Г;

ШО (грудь) = 2Г; БК (бедро) = 2Г; КН (голень) = 2Г; ОК (пояс -

колени) =3Г; ОН (щиколотки) = 5Г; ГС (макушка - ступня) = 8Г;

ШЛ (размах руки) = 3Г

 

На рисунке А. Дюрера «Изучение пропорций» хорошо видно: размеры тела человека (за единицу измерения вы­брана голова) относятся как 1: 2: 3: 5: 8 и составляют ряд Фибоначчи (рис. 16). Стоит подчеркнуть, что пропорция фи обнаруживается во всей скелетной системе. Она обыч­но отмечается в тех местах, где что-то сгибается или меняет направление.

К примеру, длины костей пальцев находятся в соотно­шении фи друг к другу. Первая фаланга находится в соот­ношении фи ко второй фаланге, вторая фаланга находится в том же соотношении с третьей. Если соотнести длину предплечья с длиной ладони, то получится пропорция фи, как и длина плеча к длине предплечья. Это также примени­мо к костям ног и стоп. Например, отношение длины голе­ни к длине стопы и длины бедра к длине голени.

Итак, основа всех живых существ одна - геометриче­ская. Воистину, Господь - самый великий Геометр, и на основании Его геометрии весь мир, такой стройный и красивый, построен по геометрическим линиям.