Результатов опытов

Комплексным статистическим анализом экспериментальных данных предусматривается решение не только основной задачи исследования, например, как это было показано в лабораторных работах №1 (определение численного значения коэффициента корреляции r _xy) и №2 (определение численных значений коэффициентов уравнения регрессии) с контролем статистической значимости полученных результатов и проверкой их адекватности. Однако получить аналогичные результаты анализа можно с использованием единой программы, позволяющей выполнить не только необходимые вычисления, но и графически отобразить их средствами компьютерной графики в заданном масштабе, а главное – обеспечить удобство изменения вида искомого уравнения регрессии.

Остановимся здесь на некоторых положениях, имеющих принципиально важное значение.

Закономерная изменчивость обусловлена причинно - следственными связями между выходом и входами объекта. Последние, в свою очередь, обладают случайной изменчивостью вследствие колебаний химического состава и свойств сырых материалов, напряжения в сетях электропитания, давления сжатого воздуха в заводских магистралях и пр. К случайной изменчивости относят также воздействие на выход объекта каких - либо факторов, неизвестных или ещё не выявленных на данной стадии исследования. Кроме того, определённая случайная изменчивость свойственна как входам, так и выходам объекта по причине случайных погрешностей их измерения.

Встроенный математический аппарат электронных таблиц Excel позволяет выполнить статистический анализ данных, включая элементы регрессионного, корреляционного и дисперсионного анализа, не прибегая к программированию этой задачи. Последняя для своего решения требует лишь записи исходных данных в особой форме и дальнейшего манипулирования средствами Excel.

Пусть в простейшем случае имеем линейное уравнение регрессии

 

Ŷ = b ₀ + b ₁ x ₁ + b ₂ x ₂ + b ₃ x ₃ + … + b_Kx_K,

 

в котором коэффициенты b_i; i = 0, K средствами Excel определяются по методу наименьших квадратов. Сущность этого метода заключается в том, чтобы коэффициенты удовлетворяли условию

 

 

где i - номер отсчёта экспериментального значения выхода объекта Y_i; i = 1, n;

n - общее количество отсчётов (опытов);

Ŷ_i - соответствующее модельное значение выхода объекта.

Значение n не должно быть меньше своего предельного минимума

 

n _min = 2 + (K + 2)(K +1) / 2.

 

При регрессионном анализе используются такие понятия, как

регрессионная сумма квадратов, иначе - сумма квадратов, обусловленная регрессией

 

 

остаточная сумма квадратов (сумма квадратов ошибки регрессии)

 

SS _ост =

 

- общая сумма квадратов

 

S _yy = SS _рег + SS _ост =

 

В этих выражениях - среднее арифметическое значение выхода

Если ввести математические ожидания указанных сумм квадратов

 

MS _рег = SS _рег / f _рег;

MS _ост = SS _ост / f _ост ,

 

где символом f обозначены соответствующие (известные из математики) числа степеней свободы

 

f _рег = K; f _ост = n – (K + 1); f _yy = n – 1,

 

то отношение

 

является экспериментальным значением критерия Фишера, а величина

 

 

представляет собой квадрат множественного коэффициента корреляции (реже называется множественным коэффициентом детерминации).

Величина F _Э характеризует степень адекватности полученной математической модели, т. е. соответствия её исходным опытным данным, полученным от исследуемого объекта. При прямой оценке адекватности задаются требуемой доверительной вероятностью и по данным, например, [23, 34] из специальных таблиц выбирают теоретическое (табличное) значение критерия Фишера F _T. При условии

 

F _Э £ F _T (*)

 

модель можно считать адекватной и наоборот. Возможна и обратная оценка, при которой по значению F _Э непосредственно вычисляют доверительную вероятность, т.е. степень надёжности найденной математической модели.

Критерий R ² характеризует степень тесноты связи между рассматриваемыми переменными. Вообще,

 

0 £ R ²£ 1.

 

При R ² = 0 закономерная связь между входами и выходом, выражаемая уравнением регрессии, отсутствует, а при R ² = 1 эта связь становится функциональной - без случайной изменчивости данных и, следовательно, без разброса отдельных результатов отсчётов относительно линии или поверхности (гиперповерхности) регрессии в графическом представлении.

Принято [410], ч.1, с. 80334 считать допустимым

 

R ² ³ 0,7

 

В то же время, критерий F _Э позволяет оценить доверительную вероятность вычисленного значения R ² , что важно для учёта влияния на эту величину определённой изменчивости экспериментальных данных в формуле (*).

Проверке подвергают также коэффициенты b _i математической модели. Обычно это делается с применением критерия Стьюдента (это псевдоним Госсета - английского математика начала ХХ – го века).

Экспериментальное значение данного критерия

где σ _bi - стандартная (среднеквадратичная) ошибка определения коэффициента b _iсогласно формуле

в которой D _{b i} - дисперсия тех данных, по которым определён этот коэффициент.

При прямом подходе к оценке значимости коэффициентов математической модели [23], [45] задаются необходимой для решаемой задачи доверительной вероятностью и по ней выбирают теоретическое (табличное) значение критерия Стьюдента t _T. При условии

 

| b _i | ³ t _T. | s _{b i} |

 

коэффициент b_i считается значимым. В противном случае его обнуляют. Возможен и обратный подход, при котором непосредственно по рассчитанному значению t _Э вычисляют доверительную вероятность для данного коэффициента b_i. Далее, в зависимости от требований к проводимому исследованию, принимают решение сохранить данный коэффициент (и соответствующий член уравнения математической модели) или - принять его за нуль (“нуль - гипотеза”).

Все рассмотренные и некоторые другие расчёты можно выполнить с использованием встроенного математического аппарата Excel. Для решения задачи следует записать исходные данные по специальной схеме, овладеть несложными приёмами манипулирования имеющимися средствами Excel и интерпретировать выдаваемые компьютером результаты. При этом необходимо следующее пояснение. Обычно в литературе приняты обозначения:

a - уровень значимости ошибки определения той или иной величины при статистическом анализе,

b = 1 - a - доверительная вероятность результатов определения этой величины.

Разработчики Excel (фирма Microsoft) приняли иные обозначения, а именно:

- уровень значимости ошибки определения экспериментального значения критерия Фишера F = F _Э обозначен как “значимость F”,

- критерий Стьюдента t_Э характеризуется как “ t - статистика”,

- уровень значимости ошибки определения коэффициентов b_i математической модели назван “P - значением”.

Ознакомимся с приёмами использования Excel на конкретном примере.

Пример.Пусть требуется оценить зависимость цены литейной продукции (Y) от производительности технологического процесса (x ₁) и сводного показателя её качества (x ₂)

Используем в качестве примера данные [410], представленные в табл.6. Заполняем таблицу этими данными и сохраняем её для дальнейшего использования.

Для решения задачи из главного меню запущенной в работу системы электронных таблиц Excel вводим команды

 

СЕРВИС | АНАЛИЗ ДАННЫХ | РЕГРЕССИЯ

Ход решения заключается в том, что в окне “Регрессия” указываем входной диапазон значений Y в виде C2:C13, а общий входной диапазон значений аргументов (координаты левого верхнего и правого нижнего углов блока данных) A2:B13.

Таблица 2