Крутого восхождения по поверхности отклика

 

Начиная с данной темы, студент знакомится с возможными способами поиска экcтремума поверхности отклика многофакторных объектов. Здесь рекомендуется ознакомиться с такими методами, как метод Гаусса – Зейделя, методами случайного поиска, градиента. Эти методы могут использоваться практически, но их эффективность невысокая, поскольку для их реализации требуется большое число опытов.

Значительно более высокой эффективностью обладает рассматриваемый в настоящей теме метод крутого восхождения по поверхности отклика, известный также под названием метода Бокса-Уилсона [21], с. 169…174, или [32], с. 74…79.

Реализация метода крутого восхождения состоит из следующих этапов:

а) Постановка полного или дробного факторного эксперимента в окрестностях точки начального состояния объекта, например, точки А на рис. 9.1 [21] или рис. 6 [32].

б) Обработка, анализ полученных экспериментальных данных и построение математической модели объекта, точнее – математического описания участка поверхности отклика в названной окрестности точки начального состояния объекта. При этом для экспериментальной оптимизации объекта могут быть использованы как адекватные, так и неадекватные математические модели, например для двухфакторного объекта .

в) Определяют градиент поверхности отклика

как векторной суммы частных производных функции по её аргументам X₁ и X₂, где - единичные векторы (орты), лежащие соответственно на осях X₁ и X₂. Градиент оказывается вектором, указывающим направление наиболее крутого возрастания значения у в ответ на изменение факторов X₁ и X₂. Предполагается, ось у перпендикулярна к плоскости рисунка.

г) На линии градиента OG (рис. 9.8 [21]) планируют серию опытов по поиску ближайшего локального (то есть местного) максимума у, для определения координат которого необходимо:

- рассчитать для каждого из факторов произведения , где – интервал варьирования фактора при ПФЭ (ДФЭ);

- один из факторов принять в качестве базового, у которого

;

- задаться шагом изменения базового фактора от опыта к опыту;

- чтобы в процессе постановки серии опытов по поиску max у не “сбиться” с направления градиента, шаги изменения других факторов h _i определить из соотношения

;

- ставить опыты на линии градиента, сравнивая между собой полученные значения у;

- опыты продолжать до тех пор, пока последовательное возрастание у не изменится на его убывание. Тем самым определится положение искомого оптимума (ближайшего локального максимума у).

Если достигнутого значения у недостаточно, в окрестностях данного локального оптимума ставят новый ПФЭ или ДФЭ, определяют новое значение градиента, в направлении этого градиента продолжают опыты и так далее – до отыскания глобального оптимума.

Настоятельно рекомендуется детально ознакомиться с примером оптимизации прочности сплава, содержащего 7 уже упоминавшихся ранее легирующих элементов [21], с. 172…174 или [23], с. 76…79.

Если задача экспериментатора заключается в поиске не максимума у, а его минимума, то процедура эксперимента отличается от рассмотренной лишь тем, что опыты ставятся в направлении не градиента, а антиградиента, то есть в противоположном по отношению к градиенту направлении. Последняя процедура получила наименование “наискорейшего спуска”.

Пример. На основе построенной математической модели прочности сплава (см. пример в материалах темы 6, с. 63) требуется найти оптимальные концентрации тех же легирующих элементов, обеспечивающих получение максимальной прочности стали на растяжение при температуре 800°С. Результаты соответствующих расчетов и опытные данные сведены в табл. 3, где информация, представленная в строках 1... 3, взята из предыдущего примера.

Наибольшее значение произведения b _iΔ x _i= 0,72(см. строку 4 табл.7 3) присуще первому из факторов — содержанию в сплаве хрома. Поэтому содержание хрома принято в качестве базового фактора. Шаг варьирования для базового фактора принят равным h _a= h ₁ = 0,8% (см. строку 5 табл.).

Шаги варьирования для остальных факторов рассчитаны согласно данным выше указаниям.

Координаты (значения факторов) x₁ … x₇ в опытах 1...... 10 определены последовательным алгебраическим суммированием исходных содержаний соответствующих элемен­тов в сплаве (строка 1 табл.) с величинами шагов варьирования (строка 5).

Кодирование этих координат по известным правилам и подстановка их в модельное уравнение прочности сплава позволяет определить модельные значения прочности сплава y в мысленных опытах (то есть расчётом) 1... 4. Последовательное их возрастание свидетельствует о правильности определения градиента.

Мысленный опыт 5 проверили его практической реализа­цией. Действительное значение прочности сплава оказалось равным y = 103 МПа.

Это существенно расходится с. “модельным” значением y = 170 МПа. Однако, подобное расхождение может быть объяснено тем, что к опыту 5 исследова­тели достаточно далеко отошли от основного уровня факторов, в окрестностях которого была определена математи­ческая модель. С удалением от области ее определения модель “работает” все менее точно, поскольку все подобного рода математические модели являются интерполяционными (они надёжно “работают” только в пределах области определения факторов)..

Реализация опытов 7...10 позволила исследователям найти локальный экстремум (максимум) прочности y = 115 МПа в условиях опыта 8 (строка 13 табл.).

О высокой эффективности метода крутого восхождения говорит тот факт, что локальный экстремум был найден постановкой всего лишь 13 опытов (из них 8 — для определе­ния начальной математической модели). Для проведения статистического анализа число опытов может быть увеличено.

Как следует из полученных данных, в точке локаль­ного экстремума прочность сплава повысилась уже более чем к 2,5 раза по сравнению с первоначальной.

 

 

В качестве рекомендаций к использованию метода крутого восхождения отметим, что при выборе шагов варьирования факторов совершение первого же шага в процессе поиска оптимума не должно выводить объект за границы области определения факторов. Если через некоторое число шагов эта граница оказалась достигнутой одним из факто­ров, то при дальнейшем поиске такой фактор может быть зафиксирован, и число варьируемых факторов сократится.

В качестве рекомендаций к использованию метода крутого восхождения отметим, что при выборе шагов экстремума — минимума знаки коэф­фициентов нужно поменять на обратные (для определения движения по антиградиенту в факторном пространстве).

Следует также отметить, что достижение локального экстремума в рассмотренном примере еще не свидетельствует о полном окончании процесса поиска опти­мума. Поиск должен быть продолжен в направлении градиента, определенного из окрестностей достигнутого локального экстремума, а не из начальных условий.

По мере приближения к общему (глобальному) экстремуму степень кривизны поверхности отклика возрастает, и линейные модели становятся неадекватными, что снижает вероятность успеха поиска оптимума методом крутого вос­хождения. Здесь требуется уменьшать степень дробности ДФЭ, от ДФЭ переходить к ПФЭ, а если и этого окажется недостаточно, перейти от планов эксперимента первого порядка к планам второго порядка.

Вопросы для самопроверки

1. В чем причина недостаточной эффективности метода Гаусса - Зейделя?

2. Какие существуют разновидности метода случайного поиска?

3. Как определяют направление градиента поверхности отклика?

4. В каком направлении следует ставить опыты при поиске максимума выхода объекта методом Гаусса – Зейделя?

5. Чем отличается последовательность постановки опытов при поиске минимума выхода объекта методом Гаусса – Зейделя?

6. Как определяют шаги изменения факторов при реализации метода крутого восхождения по поверхности отклика?

7. Какое соотношение между шагами изменения факторов следует соблюдать при оптимизации методом крутого восхождения?

8. В каких случаях ПФЭ или ДФЭ приходится ставить более одного раза для обеспечения поиска оптимума?

Усвоив теоретический материал темы студенту надлежит выполнить лабораторную работу №9 (разделы 3.4 и 3.5).