Тема 10. Симплексный метод оптимизации

Как это следует из рекомендованных учебных материалов [21], с.175…181 и [32], с.80…82, симплексный метод оптимизации подкупает своей простотой и, в то же время, обладает высокой эффективностью.

Требуется четко усвоить определение симплекса, который в k – мерном факторном пространстве представляет собой простейшую замкнутую геометрическую фигуру, образованную k +1 вершинами и соединяющими их прямыми линиями. В симплексном методе не требуется осуществлять кодирование факторов. Координаты вершин симплекса являются координатами (значениями факторов) отдельных опытов. Сравнением откликов объекта на эти опыты и отражением наихудшей вершины определяют координаты очередного опыта на пути продвижения к искомому оптимуму.

Вместо “официальных” формул (9.6) [21] и (4.6) [32] можно дать упрощенную для наглядности и лёгкости запоминания формулу определения координат очередного опыта

где k – количество технологических факторов (входов объекта);

i = 1, k – порядковый номер фактора из состава целочисленного множества от 1 до k включительно;

х _i – координата наихудшей вершины симплекса, которая при поиске max y дала наименьший отклик, а при поиске min y – наибольший отклик в очередном опыте;

- сумма координат остальных вершин симплекса.

Достоинством симплексного метода оптимизации (симплексного планирования эксперимента), кроме его простоты, является также возможность его применения при сложном рельефе поверхности отклика и наличия на ней “оврагов” или “гребней”.

Особое внимание рекомендуется обратить на модификацию симплексного метода (метод деформируемого симплекса Нелдера - Мида). В этом случае форма и размеры симплекса в процессе поиска оптимума не остаются постоянными. Симплекс может вытягиваться или сжиматься (cм. [12], с.188, рис. 9.13) в зависимости от соотношения значений отклика объекта в его вершинах. Это сокращает количество шагов симплекса на пути к окрестностям оптимума и ускоряет его достижение.

Настоятельно рекомендуется внимательно изучить материал примера 9.2 [12], с.177, симплексной оптимизации состава формовочной смеси по максимуму её газопроницаемости.

Вопросы для самопроверки

1. Какую форму имеет симплекс в трехмерном факторном пространстве?

2. При поиске максимума отклика у объекта в двумерном факторном пространстве опыты в вершинах симплекса на очередном шаге дали следующие результаты:

 

Вершина Значение y, ед. измерения

А 30

В 40

С 60

Какую из этих вершин необходимо зеркально отразить относительно противолежащей грани для определения координат следующего опыта?

3. Совпадает ли траектория движения центра тяжести симплекса в процессе поиска максимума отклика у объекта с направлением градиента у?

4. Что означает качание симплекса вместо определенным образом его перемещения в факторном пространстве?

5. Что следует предпринять для того, чтобы вывести симплекс из качания?

6. Какой вывод может быть сделан при “зацикливании” симплекса, когда после постановки очередного опыта обнаруживается, что вершины симплекса циклически движутся по замкнутым траекториям?

7. Что означает случай, когда после однократного качания симплекс после отражения любой из его вершин приходит к возврату в прежнее положение?

8. Объясните ситуацию, когда разность значений отклика в вершинах симплекса становится меньше наперед заданного числа?

9. Что рекомендуется предпринять при зацикливании симплекса для продолжения процесса поиска оптимума?

10. Какой вид деформации претерпевает симплекс по методу Нелдера - Мида в зависимости от соотношений между результатами опытов по поиску минимума отклика (расширение, сжатие, нормальное отражение, отрицательное сжатие)?

11. Как строят начальный симплекс?

Для закрепления знаний, полученных при работе над данной темой

студенту следует выполнить лабораторную работу №10 (разделы 3.4 и 3.5).