ДИФЕРЕНЦІЙНІ РІВНЯННЯ ОДНОРІДНОЇ ЛІНІЇ

Напруга і струм в лінії є функціями двох незалежних перемінних: просторової координати х, що визначає місце спостереження, та часу t, який визначає момент спостереження. Нашою задачею є знаходження просторово-тимчасового розподілу величини струму у лінії i(x, t) та напруги поміж дротами u(х, t).

Складемо диференційні рівняння, яким задовольняють напруга і струм у будь-якому перетині двохпровідної лінії.

Домовимося називати верхній дріт (рис.3) двохпровідної лінії прямим, а нижній - зворотним. Позитивні напрями струму та напруги оберемо, як показано на рис 3.

Хай відомі первинні параметри однорідної лінії: r₀ - опір прямого та зворотного дротів, L₀ - індуктивність петлі, що утворюється прямим та зворотним дротами, g₀ - провідність (відплив) поміж дротами. С₀ - ємність між дротами.

Довгу лінію можна уявити у вигляді множини сполучених у ланцюжок нескінченно малих елементів довжиною dx, кожний з яких має опір r₀dx та індуктивність L₀dx, провідність g₀dx і ємність C₀dx (рис.3). Опір r₀dx та індуктивність L₀dx будемо рахувати включеними у один дріт.

Позначимо через х відстань від початку лінії до поточного елемента її довжини. Миттєві значення напруги та струму на початку обраного елемента лінії dx позначимо через u та i, а на початку наступного - через та

Рис. 3

 

Для елемента лінії довжиною dx на підставі законів Кірхгофа

Наводячи подібні члени і нехтуючи величиною другого порядку малості та скорочуючи на dx, одержуємо диференційні рівняння

(1.1)

Ці рівняння називають телеграфними рівняннями. Вони можуть бути вирішені однозначно при використанні початкових й граничних умов. Початковими умовами будуть значення напруги та струму на початку або в кінці лінії в момент часу, прийнятий за нуль. Граничні умови визначаються зв'язками між напругою та струмом на початку або в кінці лінії, які залежать від заданого режиму роботи лінії.

Розв'язання зазначених вище рівнянь дає функціональні залежності напруги та струму у лінії від перемінних х та t.